diff --git a/contents/sections/abtasttheorem.md b/contents/sections/abtasttheorem.md index 2d56523..4f94975 100644 --- a/contents/sections/abtasttheorem.md +++ b/contents/sections/abtasttheorem.md @@ -8,7 +8,7 @@ Sehen wir uns nun den Prozess des Samplings mal etwas genauer an und rufen uns n Genauso verhält es sich mit dem Sampling bei analogen Signalen. Werden diese mit einer bestimmten Abtastrate $f_\text{s}$ erfasst (gesampelt), so können wir zeitlich schnelle Änderungen des Signals zwischen 2 Samples ggf. nicht mehr erfassen. Sampling bedeutet somit auch immer einen Verlust an zeitlicher Information. Nun kann man sich überlegen, welche zeitliche Auflösung erforderlich ist, um ein analoges Signal einer bestimmten Frequenz (Wechsel der Signalamplitude pro Sekunde) noch ohne Verlust von Information (alle Wechsel sollen erfasst werden) abzutasten. Hierfür kann man folgende Überlegung anstellen. Um mindestens jeden Wechsel des Signals einwandfrei erfassen zu können, muss man (wie bei unserem vorgenannten Beispiel mit der Kamera), in der Lage sein sicherzustellen, dass mindestens vor und nach jedem Wechsel des Signals ein Sample genommen wird. Im Fall unserer Fliege, die durch das Bild fliegt, wäre die Voraussetzung, dass die Fliege nur so schnell durch das Bild fliegen darf, dass sie mindestens auf 2 Bildern zu sehen ist. Ansonsten könnte man nicht sagen, von wo sie durch das Bild geflogen ist und in welche Richtung. Ist diese Voraussetzung nicht erfüllt, entgeht uns diese Information. Man spricht in diesem Fall auch davon, dass eine fehlerfreie Rekonstruktion nicht möglich ist. -Man kann mathematisch zeigen, dass für die Erfassung eines Signals mit der höchsten vorkommenden Frequenz $f_\text{max}$ die Abtastrate $f_\text{s}$ mehr als das Doppelte, also etwas mehr als $f_\text{s} > 2 \cdot f_\text{max}$, betragen muss, damit wir unser Signal wieder einwandfrei rekonstruieren können. Diese Erkenntnis nennt sich in der digitalen Signalverarbeitung auch Abtasttheorem und ist nach dessen Entdeckern Nyquist und Shannon auch als Nyquist-Shannon-Abtasttheorem oder Nyquist-Bedingung bekannt. Das Abtasttheorem bestimmt also die für eine fehlerfreie Rekonstruktion eines Signals theoretisch notwendige minimale Abtastrate $f_\text{s}$. +Man kann mathematisch zeigen, dass für die Erfassung eines Signals mit der höchsten vorkommenden Frequenz $f_{\mathrm{max}}$ die Abtastrate $f_\text{s}$ mehr als das Doppelte, also etwas mehr als $f_\text{s} > 2 \cdot f_{\mathrm{max}}$, betragen muss, damit wir unser Signal wieder einwandfrei rekonstruieren können. Diese Erkenntnis nennt sich in der digitalen Signalverarbeitung auch Abtasttheorem und ist nach dessen Entdeckern Nyquist und Shannon auch als Nyquist-Shannon-Abtasttheorem oder Nyquist-Bedingung bekannt. Das Abtasttheorem bestimmt also die für eine fehlerfreie Rekonstruktion eines Signals theoretisch notwendige minimale Abtastrate $f_\text{s}$. [question:AF618] diff --git a/contents/slides/abtasttheorem.md b/contents/slides/abtasttheorem.md index 3471748..1a4dce8 100644 --- a/contents/slides/abtasttheorem.md +++ b/contents/slides/abtasttheorem.md @@ -25,7 +25,7 @@ ## Das Nyquist-Shannon-Abtasttheorem -* Für ein Signal mit maximaler Frequenz $f_{max}$ muss die Abtastrate $\gt 2 \cdot f_{max}$ betragen +* Für ein Signal mit maximaler Frequenz $f_{\mathrm{max}}$ muss die Abtastrate $\gt 2 \cdot f_{\mathrm{max}}$ betragen * Nur so können alle Signalwechsel korrekt erfasst und rekonstruiert werden * Wird diese Grenze unterschritten, entstehen Alias-Effekte diff --git a/contents/slides/akku.md b/contents/slides/akku.md index 753c427..248cbf3 100644 --- a/contents/slides/akku.md +++ b/contents/slides/akku.md @@ -139,13 +139,13 @@ $Q_{\mathrm{ges}} = Q \cdot 1 = \qty{10}{\ampere\hour}$ [question:AB211] --- #### Lösungsweg -* gegeben: $Q_{max} = \qty{60}{\ampere\hour}$ -* gegeben: $Q_{10\\%} = 0,1 \cdot Q_{max} = \qty{6}{\ampere\hour}$ +* gegeben: $Q_{\mathrm{max}} = \qty{60}{\ampere\hour}$ +* gegeben: $Q_{10\\%} = 0,1 \cdot Q_{\mathrm{max}} = \qty{6}{\ampere\hour}$ * gegeben: $I = \qty{0,8}{\ampere}$ * gesucht: $t$ -$Q = I \cdot t \Rightarrow t = \frac{Q}{I} = \frac{Q_{max} - Q_{10\%}}{I} = \frac{\qty{54}{\ampere\hour}}{\qty{0,8}{\ampere}} = \qty{67,5}{\hour}$ +$Q = I \cdot t \Rightarrow t = \frac{Q}{I} = \frac{Q_{\mathrm{max}} - Q_{10\%}}{I} = \frac{\qty{54}{\ampere\hour}}{\qty{0,8}{\ampere}} = \qty{67,5}{\hour}$ --- diff --git a/contents/slides/analog_digital_umsetzer.md b/contents/slides/analog_digital_umsetzer.md index d20767b..2f8ba8b 100644 --- a/contents/slides/analog_digital_umsetzer.md +++ b/contents/slides/analog_digital_umsetzer.md @@ -7,7 +7,7 @@ ### Aliasing und Antialiasing -* Abtasttheorem: Für fehlerfreie Rekonstruktion muss die Abtastrate $\gt 2 \cdot f_{max}$ betragen +* Abtasttheorem: Für fehlerfreie Rekonstruktion muss die Abtastrate $\gt 2 \cdot f_{\mathrm{max}}$ betragen * Signale oberhalb der maximal verarbeitbaren Frequenz können als fehlerhafte Aliases erscheinen * Antialiasing-Filter (Tiefpass- oder Bandpassfilter) unterdrücken unerwünschte hohe Frequenzen * Schützen den A/D-Umsetzer vor fehlerhaften Aliasing-Effekten diff --git a/contents/slides/frequenzgenauigkeit.md b/contents/slides/frequenzgenauigkeit.md index 54f42b1..070aff1 100644 --- a/contents/slides/frequenzgenauigkeit.md +++ b/contents/slides/frequenzgenauigkeit.md @@ -28,19 +28,19 @@ $\qty{435}{\mega\hertz} \cdot \frac{1}{\num{10^6}} = \frac{435\cdot \qty{\cancel #### Lösungsweg Teil 1 * gegeben: $f = \qty{14,200000}{\mega\hertz}$ * gegeben: $\textrm{Abw.} = \qty{10}{\ppm}$ -* gesucht: $f_\text{min}, f_\text{max}$ +* gesucht: $f_{\mathrm{min}}, f_{\mathrm{max}}$ -$\begin{split}f_\text{min} &= f\,-\,f \cdot \frac{10}{\num{10^6}}\\ &= \qty{14,2}{\mega\hertz}\,-\,\frac{14,2\cdot \qty{\cancel{10^6}}{\hertz}\cdot 10}{\cancel{\num{10^6}}}\\ &= \qty{14,2}{\mega\hertz}\,-\,\qty{142}{\hertz}\\ &= \qty{14,199858}{\mega\hertz}\end{split}$ +$\begin{split}f_{\mathrm{min}} &= f\,-\,f \cdot \frac{10}{\num{10^6}}\\ &= \qty{14,2}{\mega\hertz}\,-\,\frac{14,2\cdot \qty{\cancel{10^6}}{\hertz}\cdot 10}{\cancel{\num{10^6}}}\\ &= \qty{14,2}{\mega\hertz}\,-\,\qty{142}{\hertz}\\ &= \qty{14,199858}{\mega\hertz}\end{split}$ --- #### Lösungsweg Teil 2 * gegeben: $f = 14,200.\qty{000}{\mega\hertz}$ * gegeben: $\textrm{Abw.} = \qty{10}{\ppm}$ -* gesucht: $f_\text{min}, f_\text{max}$ +* gesucht: $f_{\mathrm{min}}, f_{\mathrm{max}}$ -$\begin{split}f_\text{max} &= f\,+\,f \cdot \frac{10}{\num{10^6}}\\ &= \qty{14,2}{\mega\hertz}\,+\,\frac{14,2\cdot \qty{\cancel{10^6}}{\hertz}\cdot 10}{\cancel{10^6}}\\ &= \qty{14,2}{\mega\hertz}\,+\,\qty{142}{\hertz}\\ &= \qty{14,200142}{\mega\hertz}\end{split}$ +$\begin{split}f_{\mathrm{max}} &= f\,+\,f \cdot \frac{10}{\num{10^6}}\\ &= \qty{14,2}{\mega\hertz}\,+\,\frac{14,2\cdot \qty{\cancel{10^6}}{\hertz}\cdot 10}{\cancel{10^6}}\\ &= \qty{14,2}{\mega\hertz}\,+\,\qty{142}{\hertz}\\ &= \qty{14,200142}{\mega\hertz}\end{split}$ --- [question:AI506] @@ -81,17 +81,17 @@ $\begin{split}\Delta f &= \qty{100}{\mega\hertz} \cdot \frac{1}{\num{10^6}}\\ &= #### Lösungsweg * gegeben: $f = \qty{145}{\mega\hertz}$ * gegeben: $\textrm{Abw.} = \qty{10}{\ppm}$ -* gesucht: $f_\text{min},f_\text{max}$ +* gesucht: $f_{\mathrm{min}}, f_{\mathrm{max}}$ $\begin{split}\Delta f &= \qty{145}{\mega\hertz} \cdot \frac{10}{10^6}\\ &= \frac{145\cdot \qty{\cancel{10^6}}{\hertz} \cdot 10}{\cancel{10^6}}\\ &= \qty{1450}{\hertz}\end{split}$ -$\begin{split}f_\text{min} &= f\,-\,\Delta f\\ &= \qty{145}{\mega\hertz}\,-\,\qty{1450}{\hertz}\\ &= \qty{144,99855}{\mega\hertz}\end{split}$ +$\begin{split}f_{\mathrm{min}} &= f\,-\,\Delta f\\ &= \qty{145}{\mega\hertz}\,-\,\qty{1450}{\hertz}\\ &= \qty{144,99855}{\mega\hertz}\end{split}$ -$\begin{split}f_\text{max} &= f\,+\,\Delta f\\ &= \qty{145}{\mega\hertz}\,+\,\qty{1450}{\hertz}\\ &= \qty{145,00145}{\mega\hertz}\end{split}$ +$\begin{split}f_{\mathrm{max}} &= f\,+\,\Delta f\\ &= \qty{145}{\mega\hertz}\,+\,\qty{1450}{\hertz}\\ &= \qty{145,00145}{\mega\hertz}\end{split}$ --- @@ -100,8 +100,8 @@ $\begin{split}f_\text{max} &= f\,+\,\Delta f\\ &= \qty{145}{\mega\hertz}\,+\,\qt #### Lösungsweg * gegeben: $f = \qty{144,400}{\mega\hertz}$ * gegeben: $\textrm{Abw.} = \qty{1}{\ppm}$ -* gegeben: $f_{B,\text{max}} = \qty{2,7}{\kilo\hertz}$ -* gesucht: $f_{B,\text{max},\text{Abw}}$ +* gegeben: $f_{B,\mathrm{max}} = \qty{2,7}{\kilo\hertz}$ +* gesucht: $f_{B,\mathrm{max},\text{Abw}}$ @@ -110,6 +110,6 @@ $\begin{split}\Delta f &= \qty{144,4}{\mega\hertz} \cdot \frac{1}{\num{10^6}}\\ -$\begin{split}f_{B,\text{max},\text{Abw}} &= f_{B,\text{max}} + \Delta f\\ &= \qty{2,7}{\kilo\hertz} + \qty{144,4}{\hertz}\\ &= \qty{2,8444}{\kilo\hertz}\end{split}$ +$\begin{split}f_{B,\mathrm{max},\text{Abw}} &= f_{B,\mathrm{max}} + \Delta f\\ &= \qty{2,7}{\kilo\hertz} + \qty{144,4}{\hertz}\\ &= \qty{2,8444}{\kilo\hertz}\end{split}$ diff --git a/contents/slides/uebertrager_2.md b/contents/slides/uebertrager_2.md index c59e3ae..973ce2b 100644 --- a/contents/slides/uebertrager_2.md +++ b/contents/slides/uebertrager_2.md @@ -124,11 +124,11 @@ nach VDE #### Lösungsweg * gegeben: $d = \qty{0,5}{\milli\meter}$ * gegeben: Stromdichte $\frac{I}{A} = \frac{\qty{2,5}{\ampere}}{\qty{1}{\milli\meter\squared}}$ -* gesucht: $I_{max}$ +* gesucht: $I_{\mathrm{max}}$ $A_{Dr} = \frac{d^2 \cdot \pi}{4} = \frac{(\qty{0,5}{\milli\meter})^2 \cdot \pi}{4} \approx \qty{0,196}{\milli\meter\squared}$ -$I_{max} = \frac{I}{A} \cdot A_{Dr} = \frac{\qty{2,5}{\ampere}}{\qty{1}{\milli\meter\squared}} \cdot \qty{0,196}{\milli\meter\squared} = \qty{0,49}{\ampere}$ - \ No newline at end of file +$I_{\mathrm{max}} = \frac{I}{A} \cdot A_{Dr} = \frac{\qty{2,5}{\ampere}}{\qty{1}{\milli\meter\squared}} \cdot \qty{0,196}{\milli\meter\squared} = \qty{0,49}{\ampere}$ + diff --git a/contents/slides/wechselstrom_leistung.md b/contents/slides/wechselstrom_leistung.md index af6ead0..7565744 100644 --- a/contents/slides/wechselstrom_leistung.md +++ b/contents/slides/wechselstrom_leistung.md @@ -18,12 +18,12 @@ $P = U_{\text{eff}} \cdot I_{\text{eff}}$ [question:AB301] --- ### Lösungsweg -* gegeben: $I_{\textrm{max}} = \qty{0,5}{\ampere}$ +* gegeben: $I_{\mathrm{max}} = \qty{0,5}{\ampere}$ * gegeben: $R = \qty{20}{\ohm}$ * gesucht: $P$ -$\begin{split} P &= I^2 \cdot R = \left(\frac{I_{\textrm{max}}}{\sqrt{2}}\right)^2 \cdot R\\ &= \frac{(\qty{0,5}{\ampere})^2}{2} \cdot \qty{20}{\ohm} \\ &= \qty{\frac{1}{8}}{\ampere\squared} \cdot \qty{20}{\ohm} = \qty{2,5}{\watt} \end{split}$ +$\begin{split} P &= I^2 \cdot R = \left(\frac{I_{\mathrm{max}}}{\sqrt{2}}\right)^2 \cdot R\\ &= \frac{(\qty{0,5}{\ampere})^2}{2} \cdot \qty{20}{\ohm} \\ &= \qty{\frac{1}{8}}{\ampere\squared} \cdot \qty{20}{\ohm} = \qty{2,5}{\watt} \end{split}$ ---