diff --git a/contents/sections/brueckenschaltung.md b/contents/sections/brueckenschaltung.md index e6ee7af..934e316 100644 --- a/contents/sections/brueckenschaltung.md +++ b/contents/sections/brueckenschaltung.md @@ -5,7 +5,7 @@ Die Messbrücke besteht immer aus zwei Spannungsteilern, die parallel geschaltet In dem Sonderfall, dass die Spannungsteilerverhältnisse links und rechts gleich groß sind, fließt durch das Messinstrument, im sogenannten Brückenzweig, kein Strom. Die Widerstandswerte können unterschiedliche Werte aufweisen, wichtig ist, dass das Spannungsteilerverhältnis links und rechts gleich sein muss. -In einer Formel dargestellt lautet dieser Zusammenhang: $\frac {R_1}{R_2} = \frac {R_3}{R_4}$ +In einer Formel dargestellt lautet dieser Zusammenhang: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}$ --- [question:AD111] @@ -32,10 +32,10 @@ Es ist sehr hilfreich, sich die Schaltung zu skizzieren und die Spannungspotenzi -Auf der linken Seite finden wir was Verhältnis 1 kOhm zu 10 kOhm = 1/ 10. -Unter der Voraussetzung, dass das Messwerk sehr hochohmig oder abgeklemmt ist, messen wir bei 11 V Betriebsspannung auf der linken Seite am oberen Widerstand ($R_1$) genau 1V und am unteren Widerstand ($R_2$) 10 V. Das Potenzial am Messpunkt A beträgt somit 10 V gegen Masse gemessen. -Auf der rechten Seite finden wir was Verhältnis 10 kOhm zu 1 kOhm = 10/ 1 und messen deshalb 10 V am oberen Widerstand ($R_3$) und 1V am unteren Widerstand ($R_4$). Das Potenzial am Messpunkt B beträgt somit 1 V gegen Masse gemessen. -Der Potenzialunterschied zwischen A und B beträgt 9 V, wobei der Messpunkt A um 9 V positiver als der Messpunkt B ist +Auf der linken Seite finden wir was Verhältnis $\qty{1}{\kilo\ohm}$ zu $\qty{10}{\kilo\ohm} = 1/10$. +Unter der Voraussetzung, dass das Messwerk sehr hochohmig oder abgeklemmt ist, messen wir bei $\qty{11}{\volt}$ Betriebsspannung auf der linken Seite am oberen Widerstand ($R_1$) genau $\qty{1}{\volt}$ und am unteren Widerstand ($R_2$) $\qty{10}{\volt}$. Das Potenzial am Messpunkt A beträgt somit $\qty{10}{\volt}$ gegen Masse gemessen. +Auf der rechten Seite finden wir was Verhältnis $\qty{10}{\kilo\ohm}$ zu $\qty{1}{\kilo\ohm} = 10/1$ und messen deshalb $\qty{10}{\volt}$ am oberen Widerstand ($R_3$) und $\qty{1}{\volt}$ am unteren Widerstand ($R_4$). Das Potenzial am Messpunkt B beträgt somit $\qty{1}{\volt}$ gegen Masse gemessen. +Der Potenzialunterschied zwischen A und B beträgt $\qty{9}{\volt}$, wobei der Messpunkt A um $\qty{9}{\volt}$ positiver als der Messpunkt B ist %todo Zusammenfassung, Formelsammlung \ No newline at end of file diff --git a/contents/sections/reihe_parallel_gemischt.md b/contents/sections/reihe_parallel_gemischt.md index 28719bf..a668981 100644 --- a/contents/sections/reihe_parallel_gemischt.md +++ b/contents/sections/reihe_parallel_gemischt.md @@ -6,9 +6,9 @@ Als gemeinsame Vorsilbe sollten bei der folgenden Frage alle Kapazitätswerte in Schwieriger ist die Berechnung einer Reihenschaltung von 3 Kondensatoren. -Bei der folgenden Aufgabe hat die kleinste Kapazität den Wert 22 pF. -Die Gesamtkapazität muss deshalb kleiner als 22 pF sein. Da in der Lösung zwei Ergebnisse unter 22pF zu finden sind, ist keine Abschätzung möglich, sondern es ist eine Rechnung notwendig. -$\frac{ 1 }{ C_{ G } } = \frac{ 1 }{ C_{ 1 } } + \frac{ 1 }{ C_{ 2 } } + \frac{ 1 }{ C_{ 3 } }$ +Bei der folgenden Aufgabe hat die kleinste Kapazität den Wert $\qty{22}{\pico\farad}$. +Die Gesamtkapazität muss deshalb kleiner als $\qty{22}{\pico\farad}$ sein. Da in der Lösung zwei Ergebnisse unter $\qty{22}{\pico\farad}$ zu finden sind, ist keine Abschätzung möglich, sondern es ist eine Rechnung notwendig. +$\frac{1}{C_{\mathrm{ges}}} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}}$ (siehe Formelsammlung Seite 236 unten - Stichwort: Kondensatoren in Reihenschaltung ) @@ -18,56 +18,55 @@ $\frac{ 1 }{ C_{ G } } = \frac{ 1 }{ C_{ 1 } } + \frac{ 1 }{ C_{ 2 } } + \frac{ Man gibt die Kapazitätswerte immer mit der 1/x - Taste in den Taschenrechner ein und muss am Schluss nochmals 1/x drücken. -C1 mit 0,1 nF muss in Picofarad umgewandelt werden. Dies ergibt 100pF. -$\frac{ 1 }{ C_{ G } } = \frac{ 1 }{ 100 } + \frac{ 1 }{47 } + \frac{ 1 }{22 }$ +$C_1$ mit $\qty{0,1}{\nano\farad}$ muss in Picofarad umgewandelt werden. Dies ergibt $\qty{100}{\pico\farad}$. +$\frac{1}{C_{\mathrm{ges}}} = \frac{1}{\qty{100}{\pico\farad}} + \frac{1}{\qty{47}{\pico\farad}} + \frac{1}{\qty{22}{\pico\farad}}$ --- [question:AD104] % Widerstandsdreieck R - XC in Latex erstellen -[photo:301:a_R-C Widerstandsdreieck:Widerstandsdreieck für die Reihenschaltung von R und $X_C$] -Das Widerstandsdreieck für die Reihenschaltung von R und $X_C$ veranschaulicht grafisch die Berechnung mit der Formel $|Z| = \sqrt{R^2 + {X_C}^2} = \sqrt{(100\Omega)^2 + (159\Omega)^2}$ - Zusätzlich sieht man auch den Phasenverschiebungswinkel $\varphi$ zwischen U und I und das I voreilend ist. +[photo:301:a_R-C Widerstandsdreieck:Widerstandsdreieck für die Reihenschaltung von $R$ und $X_C$] +Das Widerstandsdreieck für die Reihenschaltung von $R$ und $X_C$ veranschaulicht grafisch die Berechnung mit der Formel $|Z| = \sqrt{R^2 + {X_C}^2} = \sqrt{(\qty{100}{\ohm})^2 + (\qty{159}{\ohm})^2}$ + Zusätzlich sieht man auch den Phasenverschiebungswinkel $\varphi$ zwischen $U$ und $I$ und das $I$ voreilend ist. Zur Berechnung eines Scheinwiderstandes benutzen wir die Formel $|Z| = \sqrt{R^2 + X^2}$ (siehe Formelsammlung Seite 235 unten rechts - Stichwort: Wechselspannung -> Scheinwiderstand) -Zur Anwendung dieser Formel muss der Blindwiderstand Xc des Kondensators bei 1 MHz zuerst berechnet werden. -Die Formel für $X_{\textrm{C}}$ lautet: -$X_{\textrm{C}} = \frac{1}{\omega \cdot C}$ +Zur Anwendung dieser Formel muss der Blindwiderstand $X_C$ des Kondensators bei $\qty{1}{\mega\hertz}$ zuerst berechnet werden. +Die Formel für $X_C$ lautet: +$X_C = \frac{1}{\omega \cdot C}$ (siehe Formelsammlung Seite 236 unten links - Stichwort: Kapazität -> kapazitiver Blindwiderstand ) Bei der Eingabe der Bauteilwerte in den Taschenrechner müssen die Zehnerpotenzen sorgfältig hinzugefügt werden. -1 MHz = 1 x $10^6$ Hz; 1 nF = 1 x $10^{-9}$ F -$X_C$ ergibt sich dann für den 1 nF Kondensator bei 1 MHz zu $159\Omega$. -Nun kann der Scheinwiderstand |Z| berechnet werden. +$\qty{1}{\mega\hertz} = \qty{1e6}{\hertz}$; $\qty{1}{\nano\farad} = \qty{1e-9}{\farad}$ +$X_C$ ergibt sich dann für den $\qty{1}{\nano\farad}$ Kondensator bei $\qty{1}{\mega\hertz}$ zu $\qty{159}{\ohm}$. +Nun kann der Scheinwiderstand $|Z|$ berechnet werden. $|Z| = \sqrt{R^2 + {X_C}^2}$ --- [question:AD105] Der Rechenweg ist der Gleiche wie vorher beschrieben und die Zehnerpotenzen sind wieder zu beachten: -100 µH = 100 x $10^{-6}$ H -1 MHz = 1 x $10^6$ Hz -$X_{\textrm{L}}$ muss mit der Formel $X_{\textrm{L}} = \omega \cdot L$ zuerst berechnet werden, danach kann die Berechnung des Scheinwiderstandes |Z| mit der Formel $|Z| = \sqrt{R^2 + {X_L}^2}$ erfolgen. +$\begin{split} \qty{100}{\micro\henry} &= \qty{100e-6}{\henry} \\ \qty{1}{\mega\hertz} &= \qty{1e6}{\hertz} \end{split}$ +$X_L$ muss mit der Formel $X_L = \omega \cdot L$ zuerst berechnet werden, danach kann die Berechnung des Scheinwiderstandes $|Z|$ mit der Formel $|Z| = \sqrt{R^2 + {X_L}^2}$ erfolgen. % Widerstandsdreieck R - XL in Latex erstellen -[photo:302:a_R-L Widerstandsdreieck:Widerstandsdreieck für die Reihenschaltung von R und $X_L$] -Das Widerstandsdreieck für die Reihenschaltung von R und $X_L$ veranschaulicht grafisch die Berechnung mit der Formel $|Z| = \sqrt{R^2 + {X_L}^2} = \sqrt{(100\Omega)^2 + (628\Omega)^2} $ -Zusätzlich sieht man auch den Phasenverschiebungswinkel $\varphi$ zwischen U und I und das I nacheilend ist. +[photo:302:a_R-L Widerstandsdreieck:Widerstandsdreieck für die Reihenschaltung von $R$ und $X_L$] +Das Widerstandsdreieck für die Reihenschaltung von $R$ und $X_L$ veranschaulicht grafisch die Berechnung mit der Formel $|Z| = \sqrt{R^2 + {X_L}^2} = \sqrt{(\qty{100}{\ohm})^2 + (\qty{628}{\ohm})^2}$ +Zusätzlich sieht man auch den Phasenverschiebungswinkel $\varphi$ zwischen $U$ und $I$ und das $I$ nacheilend ist. Lösungshilfe -AD 103: 100 pF + 1500 pF + 220 pF + 1 pF = 1821 pF -AD 101: 13 pF -AD 104: $X_C$ = $ \frac{1}{{6,28 \cdot 1 \ {10^6} Hz} \cdot 1 \ 10^{-9}\ F}$ = 159 Ohm -$|Z| = \sqrt{R^2 + {X_C}^2} = \sqrt{(100\Omega)^2 + (159\Omega)^2} \approx 188\Omega$ -AD 105: 636 Ohm -$X_{\textrm{L}} = \omega \cdot L = 2 \cdot \pi \cdot f \cdot L = 2 \cdot \pi \cdot 1MHz \cdot 100\mu H = 628\Omega$ -$|Z| = \sqrt{R^2 + {X_L}^2} = \sqrt{(100\Omega)^2 + (628\Omega)^2} \approx 636\Omega$ - \ No newline at end of file +AD 103: $\qty{100}{\pico\farad} + \qty{1500}{\pico\farad} + \qty{220}{\pico\farad} + \qty{1}{\pico\farad} = \qty{1821}{\pico\farad}$ +AD 101: $\qty{13}{\pico\farad}$ +AD 104: $X_C = \frac{1}{6,28 \cdot \qty{1e6}{\hertz} \cdot \qty{1e-9}{\farad}} = \qty{159}{\ohm}$ +$|Z| = \sqrt{R^2 + {X_C}^2} = \sqrt{(\qty{100}{\ohm})^2 + (\qty{159}{\ohm})^2} \approx \qty{188}{\ohm}$ +AD 105: $\qty{636}{\ohm}$ +$X_L = \omega \cdot L = 2\pi \cdot f \cdot L = 2\pi \cdot \qty{1}{\mega\hertz} \cdot \qty{100}{\micro\henry} = \qty{628}{\ohm}$ +$|Z| = \sqrt{R^2 + {X_L}^2} = \sqrt{(\qty{100}{\ohm})^2 + (\qty{628}{\ohm})^2} \approx \qty{636}{\ohm}$ + diff --git a/contents/sections/reihe_parallel_kondensator.md b/contents/sections/reihe_parallel_kondensator.md index 96ae50e..4d5a37f 100644 --- a/contents/sections/reihe_parallel_kondensator.md +++ b/contents/sections/reihe_parallel_kondensator.md @@ -10,7 +10,7 @@ Durch die Paralelschaltung stehen sich mehr Platten gegenüber und somit erhöht Bei einer Parallelschaltung von gleich großen Kondensatoren verdoppelt sich die Kapazität, die Spannungsfestigkeit bleibt gleich. Selbstverständlich kann man die Gesamtkapazität berechnen. Die Formel finden wir in der Formelsammlung: -$C_{ G } = C_{ 1 } + C_{ 2 } + C_{ 3 } + ...$ +$C_{\mathrm{ges}} = C_{1} + C_{2} + C_{3} + \dots$ Die Gesamtkapazität ist bei der Parallelschaltung immer größer als die kleinste Einzelkapazität. @@ -18,16 +18,14 @@ Die Gesamtkapazität ist bei der Parallelschaltung immer größer als die kleins Bei der folgenden Aufgabe ist eine zusätzliche Schwierigkeit zu finden, da die Vorsilben der Kapazitätswerte unterschiedlich sind. Man muss zuerst alle Werte auf eine gemeinsame Vorsilbe umwandeln. Die Zahlen sollen nicht zu groß und nicht zu klein werden, deshalb empfiehlt es sich, die Vorsilbe nano ($\unit{\nano}$) zu wählen. -$\qty{0,1}{\mu\farad} = \qty{100}{\nano\farad}$ +$\begin{split} \qty{0,1}{\micro\farad} &= \qty{100}{\nano\farad} \\ \qty{50000}{\pico\farad} &= \qty{50}{\nano\farad}\end{split}$ -$\qty{50 000}{\pico\farad} = \qty{50}{\nano\farad}$ - -Jetzt muss man nur noch alle Werte Addieren in $\unit{\nano\farad}$ addieren. +Jetzt muss man nur noch alle Werte in $\unit{\nano\farad}$ addieren. [question:ED117] -[photo:262:a_Netzteil BEKO PA 7 x 10000µF parallel: Parallelschaltung von 7 x 10 000 µF in einem Endstufennetzteil] +[photo:262:a_Netzteil BEKO PA $7 \times \qty{10000}{\micro\farad}$ parallel: Parallelschaltung von $7 \times \qty{10000}{\micro\farad}$ in einem Endstufennetzteil] Als Verständnistest kann die nächste Aufgabe verwendet werden. @@ -39,7 +37,7 @@ Als Verständnistest kann die nächste Aufgabe verwendet werden. Bei einer Reihenschaltung von Kondensatoren, wie in Abbildung [ref:e_3C-parallel] gezeigt, erhöht sich die Spannungsfestigkeit, allerdings verringert sich die Kapazität. Selbstverständlich kann man wieder die Gesamtkapazität berechnen. Diese ist sehr ähnlich zur Parallelschaltung von Widerstanden: -$\frac{ 1 }{ C_{ G } } = \frac{ 1 }{ C_{ 1 } } + \frac{ 1 }{ C_{ 2 } } + \frac{ 1 }{ C_{ 3 } }$ +$\frac{1}{C_{\mathrm{ges}}} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}}$ [picture:823:e_3C-parallel:Reihenschaltung von 3 Kondensatoren] @@ -59,14 +57,14 @@ Bei der Lösung der Aufgaben empiehlt sich folgende Vorgehensweise: 5. Berechne schrittweise die Gesamtkapazität -Wenn alle Kondensatoren gleiche Kapazitätswerte haben, dann kann man die Gesamtkapazität leicht berechnen, indem eine Einzelkapazität durch 3 dividiert wird. In der folgenden Aufgabe rechnet man $\qty{0,33}{\mu\farad} / 3 = \qty{0,11}{\mu\farad}$. +Wenn alle Kondensatoren gleiche Kapazitätswerte haben, dann kann man die Gesamtkapazität leicht berechnen, indem eine Einzelkapazität durch 3 dividiert wird. In der folgenden Aufgabe rechnet man $\qty{0,33}{\micro\farad} / 3 = \qty{0,11}{\micro\farad}$. [question:ED119] -Bei der Reihenschaltung von Kondensatoren in der folgenden Aufgabe findet man $\unit{\mu\farad}$ und $\unit{\nano\farad}$ als Vorsilbe. Es ist sehr sinnvoll, $\qty{200000}{\nano\farad}$ zuerst in $\qty{200}{\mu\farad}$ umzuwandeln. Bei einer Reihenschaltung kann man nun die Formel aus der Formelsammlung anwenden. +Bei der Reihenschaltung von Kondensatoren in der folgenden Aufgabe findet man $\unit{\micro\farad}$ und $\unit{\nano\farad}$ als Vorsilbe. Es ist sehr sinnvoll, $\qty{200000}{\nano\farad}$ zuerst in $\qty{200}{\micro\farad}$ umzuwandeln. Bei einer Reihenschaltung kann man nun die Formel aus der Formelsammlung anwenden. -$C_{ G } =\frac{1}{ \frac{ 1 }{ 100 \ µF } + \frac{ 1 }{ 50\ µF } + \frac{ 1 }{ 100\ µF }}$ +$C_{\mathrm{ges}} =\frac{1}{\frac{1}{\qty{100}{\micro\farad}} + \frac{1}{\qty{50}{\micro\farad}} + \frac{1}{\qty{100}{\micro\farad}}}$ [question:ED120] @@ -89,13 +87,13 @@ Die weiteren Aufgaben ähnlich und leicht lösbar. % %Lösungshilfen: % -%*ED 118:* Reihenschaltung von 22 nF, 0,033 µF = 33 nF und 15 000 pF = 15 nF. -%$\frac{ 1 }{ C_ G } = \frac{ 1 }{22 } + \frac{ 1 }{33} + \frac{ 1 }{ 15 }$ -%Eigentlich muss man nicht rechnen, denn es gibt nur ein Ergebnis, das kleiner als 15 nF ist. -%*ED 120:* 50 µF -%*ED 122:* $C_2$ = 1 µF und $C_3$ = 1 µF in Parallelschaltung ergibt zusammen 2 µF. Dazu $C_1$ = 2 µF in Reihe %ergibt die Hälfte , also 1 µF. +%*ED 118:* Reihenschaltung von $\qty{22}{\nano\farad}$, $\qty{0,033}{\micro\farad} = \qty{33}{\nano\farad}$ und $\qty{15000}{\pico\farad} = \qty{15}{\nano\farad}$. +%$\frac{1}{C_{\mathrm{ges}}} = \frac{1}{\qty{22}{\nano\farad}} + \frac{1}{\qty{33}{\nano\farad}} + \frac{1}{\qty{15}{\nano\farad}}$ +%Eigentlich muss man nicht rechnen, denn es gibt nur ein Ergebnis, das kleiner als $\qty{15}{\nano\farard}$ ist. +%*ED 120:* $\qty{50}{\micro\farad}$ +%*ED 122:* $C_2 = \qty{1}{\micro\farad}$ und $C_3 = \qty{1}{\micro\farad}$ in Parallelschaltung ergibt zusammen $\qty{2}{\micro\farad}$. Dazu $C_1 = \qty{2}{\micro\farad}$ in Reihe %ergibt die Hälfte , also $\qty{1}{\micro\farad}$. % -%*ED 123:* $C_2$ = 4 nF und $C_3$ = 4 nF in Parallelschaltung ergibt zusammen 8 nF. Dazu $C_1$ = 8 nF in Reihe %ergibt die Hälfte , also 4 nF. +%*ED 123:* $C_2 = \qty{4}{\nano\farad}$ und $C_3 = \qty{4}{\nano\farad}$ in Parallelschaltung ergibt zusammen $\qty{8}{\nano\farad}$. Dazu $C_1 = \qty{8}{\nano\farad}$ in Reihe %ergibt die Hälfte , also $\qty{4}{\nano\farad}$. % -%*ED 124:* $C_2$ = 100 nF und $C_3$ = 100 000 pF = 100 nF in Parallelschaltung ergibt zusammen 200 nF. Dazu %$C_1$ = 200 nF in Reihe ergibt die Hälfte , also 100 nF. -% \ No newline at end of file +%*ED 124:* $C_2 = \qty{100}{\nano\farad}$ und $C_3 = \qty{100000}{\pico\farad} = \qty{100}{\nano\farad}$ in Parallelschaltung ergibt zusammen $\qty{200}{\nano\farad}$. Dazu %$C_1 = \qty{200}{\nano\farad}$ in Reihe ergibt die Hälfte , also $\qty{100}{\nano\farad}$. +% diff --git a/contents/sections/reihe_parallel_widerstand.md b/contents/sections/reihe_parallel_widerstand.md index 2f304ec..a83d93f 100644 --- a/contents/sections/reihe_parallel_widerstand.md +++ b/contents/sections/reihe_parallel_widerstand.md @@ -11,16 +11,16 @@ $U=R \cdot I$ Die Abbildung [ref:e_spannungsteiler] zeigt zwei Widerstände $R_1$ und $R_2$, die hinter einander geschaltet werden. Sie vom gleichen Strom *I* durchflossen. An den Widerständen fallen dann die Spannungen $U_1 = R_1 \cdot I$ und $U_2 = R_2 \cdot I$ ab. -Die Gesamtspannung $U_{ges}$ ist einfach die Summe dieser beiden Spannungen: +Die Gesamtspannung $U_g$ ist einfach die Summe dieser beiden Spannungen: -$U_{ges} = U_1 + U_2 = R_{ges} \cdot {I} = R_1 \cdot I + R_2 \cdot I$ +$U_g = U_1 + U_2 = R_{\mathrm{ges}} \cdot {I} = R_1 \cdot I + R_2 \cdot I$ Jetzt können wir den Widerstand berechnen, der zwischen den äußeren Klemmen zu sehen ist: -$R_{ges} = \frac{U_{ges}}{I} = R_1 + R_2$, weil sich auf beiden Seiten der Gleichung der Strom $I$ rauskürzt. +$R_{\mathrm{ges}} = \frac{U_g}{I} = R_1 + R_2$, weil sich auf beiden Seiten der Gleichung der Strom $I$ rauskürzt. Das Ganze funktioniert auch bei mehr als zwei Widerständen, wie in der Formelsammlung dargestellt: -$R_{ges} = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + ...$ +$R_{\mathrm{ges}} = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + \dots$ --- @@ -38,11 +38,11 @@ fließen lässt. Der im äußeren Stromkreis fließende Strom ist die Summe dieser beiden Ströme: -$I_{ges} = I_1 + I_2 = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2}$ +$I = I_1 + I_2 = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2}$ -Wir suchen wieder einen Gesamtwiderstand $R_{ges}$, für den dann gelten muss: $I_{ges}=\frac{U}{R_{ges}}$ und folglich: +Wir suchen wieder einen Gesamtwiderstand $R_{\mathrm{ges}}$, für den dann gelten muss: $I=\frac{U}{R_{\mathrm{ges}}}$ und folglich: -$\dfrac{1}{R_{ges}} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}$ +$\dfrac{1}{R_{\mathrm{ges}}} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}$ --- @@ -50,11 +50,11 @@ Der Kehrwert des Gesamtwiderstands ist also die Summe der Kehrwerte der Einzelwi Auch hier können wir die Berechnung für beliebig viele parallele Widerstände durchführen (vgl. Formelsammlung): -$\dfrac{1}{R_{ges}} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dfrac{1}{R_3} + \dfrac{1}{R_4} + ...$ +$\dfrac{1}{R_{\mathrm{ges}}} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dfrac{1}{R_3} + \dfrac{1}{R_4} + \dots$ Den Ausdruck für zwei parallele Widerstände können wir nach den Regeln der Bruchrechnung auch schreiben als: -$R_{ges} = \dfrac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$ +$R_{\mathrm{ges}} = \dfrac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$ Bei der Reihenschaltung ist die Wert des Gesamtwiderstands immer größer als der größte Einzelwiderstand. Bei der Parallelschaltung ist der Gesamtwiderstand immer kleiner als der kleinste Einzelwiderstand. @@ -77,7 +77,7 @@ Einige der Aufgaben enthalten Widerstandsnetzwerke, in denen sowohl eine Reihen- [picture:305:e_tipp_aufgabe:Beispielschaltung] -Ein wichtiges Lösungsverfahren ist die "Methode des scharfen Hinsehens" ... da gibt es zum Beispiel eine Schaltung, die einen Widerstand $R_1$ in Reihe mit zwei parallel geschalteten Widerständen $R_2$ und $R_3$ hat. Die Werte sind $R_1 = 1\ k\Omega$, $R_2 = 2000\ \Omega$ und $R_3 = 2\ k\Omega$. Nun sind aber $2\ k\Omega = 2000\ \Omega$. Die Paralellschaltung von $R_2$ und $R_3$ ergibt einen Widerstand, der halb so groß ist: $1000\ \Omega = 1\ k\Omega$. Den schalten wir in Reihe mit $R_1$ und erhalten das Ergebnis: $R_{ges}=2\ k\Omega$. +Ein wichtiges Lösungsverfahren ist die "Methode des scharfen Hinsehens" ... da gibt es zum Beispiel eine Schaltung, die einen Widerstand $R_1$ in Reihe mit zwei parallel geschalteten Widerständen $R_2$ und $R_3$ hat. Die Werte sind $R_1 = \qty{1}{\kilo\ohm}$, $R_2 = \qty{2000}{\ohm}$ und $R_3 = \qty{2}{\kilo\ohm}$. Nun sind aber $\qty{2}{\kilo\ohm} = \qty{2000}{\ohm}$. Die Paralellschaltung von $R_2$ und $R_3$ ergibt einen Widerstand, der halb so groß ist: $\qty{1000}{\ohm} = \qty{1}{\kilo\ohm}$. Den schalten wir in Reihe mit $R_1$ und erhalten das Ergebnis: $R_{\mathrm{ges}} = \qty{2}{\kilo\ohm}$. [question:ED111] diff --git a/contents/sections/reihe_parallel_widerstandsnetz_2.md b/contents/sections/reihe_parallel_widerstandsnetz_2.md index 67b8dc3..00e71ab 100644 --- a/contents/sections/reihe_parallel_widerstandsnetz_2.md +++ b/contents/sections/reihe_parallel_widerstandsnetz_2.md @@ -6,47 +6,47 @@ Die folgenden Aufgaben erfordern mehrere Rechenschritte bis zur Lösung. Dazu ze Wenn alle Widerstände gleich groß sind und durch $R_3$ ein Strom von 1mA fließt, dann muss durch $R_2$ auch der gleiche Strom fließen, also auch 1mA. Beide Ströme müssen in der Summe durch $R_1$ fließen. Alles klar? -Wie komme ich nun auf die Gesamtspannung U? +Wie komme ich nun auf die Gesamtspannung $U$? Diese Spannung muss so groß sein, dass durch den Gesamtwiderstand auch der Gesamtstrom fließen kann. Der Gesamtstrom entspricht dem Strom durch $R_1$. -Eine kleine Formel hilft nun bei der Berechnung. U = I * R = 2mA * 15 kOhm +Eine kleine Formel hilft nun bei der Berechnung. $U = I \cdot R = \qty{2}{\milli\ampere} \cdot \qty{15}{\kilo\ohm}$ --- [question:AD107] -Dieses Mal ist die Gesamtspannung angegeben und der Strom durch $R_3$ ist gesucht. Da alle Widerstände wieder 10 kOhm betragen, ergibt sich ein Gesamtwiderstand wie in der vorherigen Aufgabe. -Der Gesamtstrom lässt sich mit der bekannten Formel $I = \frac {U}{R}$ ermitteln. +Dieses Mal ist die Gesamtspannung angegeben und der Strom durch $R_3$ ist gesucht. Da alle Widerstände wieder $\qty{10}{\kilo\ohm}$ betragen, ergibt sich ein Gesamtwiderstand wie in der vorherigen Aufgabe. +Der Gesamtstrom lässt sich mit der bekannten Formel $I = \frac{U}{R}$ ermitteln. Durch $R_3$ fließt wieder die Hälfte des Gesamtstroms, da $R_2$ und $R_3$ gleich groß sind. --- [question:AD108] -Achtung: Hier werden KiloOhm mit Milliampere multipliziert. Die Lösung ist aber in Milliwatt angegeben. -Hinweis: 1mW = 1/1000 W = 0,001 W; 1 W = 1000 mW +Achtung: Hier werden Kiloohm mit Milliampere multipliziert. Die Lösung ist aber in Milliwatt angegeben. +Hinweis: $\qty{1}{\milli\watt} = \qty{\frac{1}{1000}}{\watt} = \qty{0,001}{\watt}$; $\qty{1}{\watt} = \qty{1000}{\milli\watt}$ Jetzt wird es etwas schwieriger, da nach der Leistung an $R_2$ gefragt wird. Die Gesamtspannung und die Widerstandswerte entsprechen der vorherigen Aufgabe, deshalb fließt durch $R_2$ der gleiche Strom wie durch $R_3$ und entspricht dem halben Strom wie durch $R_1$. -Es ist zuerst der Gesamtstrom zu berechnen. $I = \frac {U}{R_{ges}}$ ; danach $I_2 = \frac {I}{2}$ -Die Leistung berechnet man mit der Formel P = U x I. Hier müssen die Werte, wie sie an dem gesuchten Widerstand auftreten, eingesetzt werden. -Also $P_2$ = $U_2$ * $I_2$ -Oh, eines neues Problem. $U_2$ ist noch nicht bekannt, läßt sich aber berechnen. $U_2$ = $R_2$ * $I_2$ = 10 kOhm * 0,5 mA -$P_2$ = 10 kOhm * 0,5mA * 0,5 mA; Da steckt doch die bekannte Formel $P = I^2 * R$ dahinter. +Es ist zuerst der Gesamtstrom zu berechnen. $I = \frac{U}{R_{\mathrm{ges}}}$; danach $I_2 = \frac{I}{2}$ +Die Leistung berechnet man mit der Formel $P = U \cdot I$. Hier müssen die Werte, wie sie an dem gesuchten Widerstand auftreten, eingesetzt werden. +Also $P_2 = U_2 \cdot I_2$ +Oh, eines neues Problem. $U_2$ ist noch nicht bekannt, lässt sich aber berechnen. $U_2 = R_2 \cdot I_2 = \qty{10}{\kilo\ohm} \cdot \qty{0,5}{\milli\ampere}$ +$P_2 = \qty{10}{\kilo\ohm} \cdot \qty{0,5}{\milli\ampere} \cdot \qty{0,5}{\milli\ampere}$; Da steckt doch die bekannte Formel $P = I^2 \cdot R$ dahinter. (siehe Formelsammlung Seite 235 Mitte links - Stichwort: Leistung) In der folgenden Widerstandsschaltung ist ein veränderbarer Widerstand (Potenziometer) eingebaut. -Der Widerstandswert kann von 0 kOhm bis auf maximal 1 kOhm verändert werden. Egal in welcher Stellung sich der Schleifer des Potenziometers befindet, der Gesamtwiderstand muss immer kleiner als 300 Ohm sein! +Der Widerstandswert kann von $\qty{0}{\kilo\ohm}$ bis auf maximal $\qty{1}{\kilo\ohm}$ verändert werden. Egal in welcher Stellung sich der Schleifer des Potenziometers befindet, der Gesamtwiderstand muss immer kleiner als $\qty{300}{\ohm}$ sein! --- [question:AD109] Lösung mit Rechnung: -100 Ohm mit 200 Ohm parallel (Potenziometer steht auf 0 Ohm) ergibt einen Gesamtwiderstand von (100 Ohm * 200 Ohm) / (100 Ohm + 200 Ohm) = 67 Ohm +$\qty{100}{\ohm}$ mit $\qty{200}{\ohm}$ parallel (Potenziometer steht auf $\qty{0}{\ohm}$) ergibt einen Gesamtwiderstand von $(\qty{100}{\ohm} \cdot \qty{200}{\ohm}) / (\qty{100}{\ohm} + \qty{200}{\ohm}) = \qty{67}{\ohm}$ -100 Ohm mit 1200 Ohm (Potenziometer steht auf 1 kOhm) in Parallelschaltung ergibt einen Gesamtwiderstand von $\frac {100 Ohm * 200 Ohm}{(100 Ohm + 200 Ohm)} = 92 Ohm . Zum Ergebnis muss noch der vorgeschaltete Widerstand mit 200 Ohm addiert werden. +$\qty{100}{\ohm}$ mit $\qty{1200}{\ohm}$ (Potenziometer steht auf $\qty{1}{\kilo\ohm}$) in Parallelschaltung ergibt einen Gesamtwiderstand von $\frac{\qty{100}{\ohm} \cdot \qty{200}{\ohm}}{\qty{100}{\ohm} + \qty{200}{\ohm}} = \qty{92}{\ohm}$. Zum Ergebnis muss noch der vorgeschaltete Widerstand mit $\qty{200}{\ohm}$ addiert werden. Begründung gewünscht? -Die Parallelschaltung von 100 Ohm mit 200 Ohm (Potenziometer steht auf 0 Ohm) oder 100 Ohm mit 1,2 kOhm (Potenziometer steht auf 1 kOhm) ergibt immer einen Wert kleiner als 100 Ohm. Wenn noch 200 Ohm addiert werden, wird er Gesamtwiderstand nicht größer als 300 Ohm sein. +Die Parallelschaltung von $\qty{100}{\ohm}$ mit $\qty{200}{\ohm}$ (Potenziometer steht auf $\qty{0}{\ohm}$) oder $\qty{100}{\ohm}$ mit $\qty{1,2}{\kilo\ohm}$ (Potenziometer steht auf $\qty{1}{\kilo\ohm}$) ergibt immer einen Wert kleiner als $\qty{100}{\ohm}$. Wenn noch $\qty{200}{\ohm}$ addiert werden, wird er Gesamtwiderstand nicht größer als $\qty{300}{\ohm}$ sein. Es gibt nur eine Lösung, bei der dies erfüllt ist. Ganz ohne Rechnung gelöst, UFB ! @@ -59,8 +59,8 @@ Brückenschaltungen werden z.B. in Widerstandsmessgeräten nach dem Prinzip eine [question:AD110] Der Gesamtwiderstand lässt sich schrittweise ermitteln. -Zuerst wird die Reihenschaltung berechnet und ergibt einen Gesamtwiderstand von 220 Ohm + 2,2 kOhm = 2,42 kOhm. -2,42 kOhm liegen auch zwei Mal parallel, deshalb muss der Gesamtwiderstand die Hälfte betragen. +Zuerst wird die Reihenschaltung berechnet und ergibt einen Gesamtwiderstand von $\qty{220}{\ohm} + \qty{2,2}{\kilo\ohm} = \qty{2,42}{\kilo\ohm}$. +$\qty{2,42}{\kilo\ohm}$ liegen auch zwei Mal parallel, deshalb muss der Gesamtwiderstand die Hälfte betragen. Das Ergebnis ist in Ohm angegeben. @@ -75,15 +75,15 @@ In der Praxis ist ein Spannungsteiler oft durch $R_L$ belastet, wie es im Schalt [question:AD114] Die Spannung $U_2$ muss dann im Vergleich zum unbelasteten Spannungsteiler kleiner werden . - $U_2$ kann man ermitteln, indem zuerst der Gesamtwiderstand $ R_{2L}$ der Parallelschaltung von $R_2$ und $R_L$ berechnet wird. Danach berechnet man den Gesamtwiderstand $R_{ges}$ der Schaltung und mit I = $\frac {U}{R_{ges}}$ den Gesamtstrom. Dieser Strom fließt auch durch den $R_{2L}$ und bewirkt den Spannungsfall $U_2$. + $U_2$ kann man ermitteln, indem zuerst der Gesamtwiderstand $R_{2L}$ der Parallelschaltung von $R_2$ und $R_L$ berechnet wird. Danach berechnet man den Gesamtwiderstand $R_{\mathrm{ges}}$ der Schaltung und mit $I = \frac{U}{R_{\mathrm{ges}}}$ den Gesamtstrom. Dieser Strom fließt auch durch den $R_{2L}$ und bewirkt den Spannungsfall $U_2$. Lösungshilfen: -AD 106: 30 V -AD 107: 0,5 mA -AD 108: 2,5 mW -AD 109: 267 - 292 Ohm -AD 110: 1210 Ohm -AD 114: 1,8 V +AD 106: $\qty{30}{\volt}$ +AD 107: $\qty{0,5}{\milli\ampere}$ +AD 108: $\qty{2,5}{\milli\watt}$ +AD 109: $\qtyrange{267}{292}{\ohm}$ +AD 110: $\qty{1210}{\ohm}$ +AD 114: $\qty{1,8}{\volt}$ Es gibt auch ein Experiment. diff --git a/contents/sections/reihenschaltung_spule.md b/contents/sections/reihenschaltung_spule.md index 1855ad0..c26db26 100644 --- a/contents/sections/reihenschaltung_spule.md +++ b/contents/sections/reihenschaltung_spule.md @@ -1,25 +1,25 @@ Bei einer Spule in Reihenschaltung addieren sich die Induktivitäten. -$L_\text{G} = L_1 + L_2 + L_3 + ... + L_n$ +$L_{\mathrm{ges}} = L_1 + L_2 + L_3 + \dots$ [photo:291:a_Spule mit Anzapfungen:Spule mit 14 Anzapfungen in einem selbstgebauten Antennenanpassgerät] Die Teilabschnitte zwischen den Anzapfungen können wie einzelne Spulen gesehen werden, deren Induktivität, durch Umschaltung der Anzapfungen, in Schritten erhöht werden kann. Die Reihenschaltung aller Teilabschnitte ergibt dann die Induktivität der Gesamtspule. -Mit der Gesamtinduktivität $L_\text{G}$, und den Einzelinduktivitäten $L_1$, $L_2$, $L_3$, ... bis $L_n$ +Mit der Gesamtinduktivität $L_{\mathrm{ges}}$, und den Einzelinduktivitäten $L_1, L_2, L_3, \dots$ Veranschaulicht werden kann es dadurch, dass man sich einfach mehrere gleichartige Spulten hintereinander vorstellt. Dabei addieren sich die Windungen der Spule. Elektrisch wirkt die Kombination von zwei gleichen Spulen wie eine entsprechend längere Spule. -In der Berechnung ist auf die Angabe der Zehnerpotenzen (z.B. $1\text{ mH} = 1 \cdot 10^{-3}\text{ H}$, oder $1\text{ µH} = 1 \cdot 10^{-6}\text{ H}$) zu achten. +In der Berechnung ist auf die Angabe der Zehnerpotenzen (z.B. $\qty{1}{\milli\henry} = \qty{1e-3}{\henry}$, oder $\qty{1}{\micro\henry} = \qty{1e-6}{\henry}$) zu achten. [question:AD102] Beispielrechnung: -Wenn man die Gesamtinduktivität einer Spule $L_1=0,033 \text{ mH}$ und einer Spule $L_2=150\text{ µH}$ berechnen möchte, so ergibt sich: -$L_\text{G} = L_1 + L_2 = 0,033 \text{ mH} + 150 \text{ µH} = 33 \cdot 10^{-6} \text{ H} + 150 \cdot 10^{-6} \text{ H} = 183 \cdot 10^{-6} \text{ H} = 183 \text{ µH}$ +Wenn man die Gesamtinduktivität einer Spule $L_1 = \qty{0,033}{\milli\henry}$ und einer Spule $L_2 = \qty{150}{\micro\henry}$ berechnen möchte, so ergibt sich: +$L_{\mathrm{ges}} = L_1 + L_2 = \qty{0,033}{\milli\henry} + \qty{150}{\micro\henry} = \qty{33e-6}{\henry} + \qty{150e-6}{\henry} = \qty{183e-6}{\henry} = \qty{183}{\micro\henry}$ -[photo:287:a_Spulenvariometer:Spulenvariometer von 6 µH bis 35 µH] -Ein Spulenvariometer besteht aus einer großen und einer kleinen Spule, die in Reihe geschalten sind. Die kleinere Spule ist innerhalb der großen Spule drehbar montiert. Durch beide Spulen fließt der gleiche Strom und es entstehen zwei Magnetfelder, die miteinander gekoppelt sind. In einer Position der drehbaren Spule sind die Magnetfelder gleichgerichtet und verstärken sich. Somit ergibt sich die größte Induktivität. Wird die innere Spule nun um 180 Grad gedreht, dann wirken die Magnetfelder gegeneinander und schwächen sich. Die Induktivität beträgt nun 6 µH. Gegenüber Spulen mit Anzapfungen kann die Induktivität kontinuierlich verändert werden, allerdings ist der Aufbau mechanisch komplizierter. Gegenüber Rollspulen gibt es weniger Kontaktprobleme.. +[photo:287:a_Spulenvariometer:Spulenvariometer von $\qty{6}{\micro\henry}$ bis $\qty{35}{\micro\henry}$] +Ein Spulenvariometer besteht aus einer großen und einer kleinen Spule, die in Reihe geschalten sind. Die kleinere Spule ist innerhalb der großen Spule drehbar montiert. Durch beide Spulen fließt der gleiche Strom und es entstehen zwei Magnetfelder, die miteinander gekoppelt sind. In einer Position der drehbaren Spule sind die Magnetfelder gleichgerichtet und verstärken sich. Somit ergibt sich die größte Induktivität. Wird die innere Spule nun um 180 Grad gedreht, dann wirken die Magnetfelder gegeneinander und schwächen sich. Die Induktivität beträgt nun $\qty{6}{\micro\henry}$. Gegenüber Spulen mit Anzapfungen kann die Induktivität kontinuierlich verändert werden, allerdings ist der Aufbau mechanisch komplizierter. Gegenüber Rollspulen gibt es weniger Kontaktprobleme.. % Die Reihenschaltung von Spulen bewirkt imer eine Verlängerung der Drahtwicklung % und somit eine Erhöhung der Induktivität. Die Gesamtinduktivität ist dann immer diff --git a/contents/sections/spannungsteiler_1.md b/contents/sections/spannungsteiler_1.md index ca04659..81dafeb 100644 --- a/contents/sections/spannungsteiler_1.md +++ b/contents/sections/spannungsteiler_1.md @@ -11,11 +11,11 @@ Man spricht deshalb vom Basis-Spannungsteiler. Das Schauen wir uns im Kapitel Ve Dieser Zusammenhang kann in verschiedenen Formeln dargestellt werden, welche wir in der Formelsammlung finden.: -$\frac{ U_{ 1 } }{ U_{ 2 } } = \frac{ R_{ 1 } }{ R_{ 2 } }$ +$\frac{U_{1}}{U_{2}} = \frac{R_{1}}{R_{2}}$ oder -$\frac{ U_{2} }{ U_{G} } = \frac{ R_{2} }{ R_{1} + R_{2} }$ +$\frac{U_{2}}{U_g} = \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$ % TODO implementiere Attention in CSS! @@ -31,17 +31,17 @@ Laut Fragestellung ist $R_1$ 5-mal größer als $R_2$, also muss an ihm auch ei Diesen Zusammenhang kann man als Formel angeben. -$\frac{ U_{ 1 } }{ U_{ 2 } } = \frac{ 5\cdot R_2 }{ R_2 }$ +$\frac{U_{1}}{U_{2}} = \frac{5 \cdot R_2}{R_2}$ -Die $R_2$ kürzen sich weg und es Ergibt sich: +Die $R_2$ kürzen sich weg und es ergibt sich: -$\frac{ U_{ 1 } }{ U_{ 2 } } = \frac{ 5 }{ 1 }$ +$\frac{U_{1}}{U_{2}} = \frac{5}{1}$ Nach etwas umformen erhalten wir das Ergebnis: -$ U_{ 1 } =U_{ 2 } \cdot \frac{ 5 }{ 1 }$ +$U_{1} = U_{2} \cdot \frac{5}{1}$ -$ U_{ 1 } = 5 \cdot U_{ 2 }$ +$U_{1} = 5 \cdot U_{2}$ [question:ED102] @@ -49,20 +49,20 @@ Bei dieser Frage besteht der umgekehrte Zusammenhang wie bei der Frage ED 101. L Dieser Zusammenhang in einer Formel dargestellt lautet nun: -$\frac{ U_{ 1 } }{ U_{ 2 } } = \frac{ 1 }{ 6 }$ +$\frac{U_{1}}{U_{2}} = \frac{1}{6}$ -$U_{ 1 } = U_{ 2 } \cdot {\frac{ 1 }{ 6 }}$ +$U_{1} = U_{2} \cdot {\frac{1}{6}}$ -$U_1 =\frac{U_2}{6}$ +$U_1 = \frac{U_2}{6}$ [question:ED103] -Bei dieser Frage sind konkrete Widerstandswerte angegeben, die zur Ermittlung des Spannungsteilerverhältnisses dienen. $R_1$ verhält sich zu $R_2$ wie $\qty{10}{\kilo\ohm}$ zu $\qty{20}{\kilo\ohm}$, also $1$ zu $2$. $U_2$ muss deshalb doppelt so groß sein wie $U_1$. Es ist aber die Gesamtspannung $U_{ G }$ angegeben. Diese liegt an einem Gesamtwiderstand von 30 kOhm und wird deshalb im Verhältnis $30$ zu $20$ (oder $3$ zu $2$) bezogen auf $R_2$ aufgeteilt. An $R_2$ muss deshalb die Spannung 2/3 von $U_G$ gemessen werden können. +Bei dieser Frage sind konkrete Widerstandswerte angegeben, die zur Ermittlung des Spannungsteilerverhältnisses dienen. $R_1$ verhält sich zu $R_2$ wie $\qty{10}{\kilo\ohm}$ zu $\qty{20}{\kilo\ohm}$, also $1$ zu $2$. $U_2$ muss deshalb doppelt so groß sein wie $U_1$. Es ist aber die Gesamtspannung $U_g$ angegeben. Diese liegt an einem Gesamtwiderstand von $\qty{30}{\kilo\ohm}$ und wird deshalb im Verhältnis $30$ zu $20$ (oder $3$ zu $2$) bezogen auf $R_2$ aufgeteilt. An $R_2$ muss deshalb die Spannung $2/3$ von $U_g$ gemessen werden können. Selbstverständlich kann dieses Ergebnis auch mit der Formel aus der Formelsammlung berechnet werden: -$\frac{ U_{ 2 } }{ U_{ G } } = \frac{ R_{ 2 } }{ R_{ 1 } + R_{ 2 } }$ +$\frac{U_{2}}{U_g} = \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$ und diese dann nach $U_2$ umgestellt: -$U_{ 2 } = \frac{ R_{ 2 } }{ R_{ 1 } + R_{ 2 } } \cdot U_{ G }$ \ No newline at end of file +$U_{2} = \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}} \cdot U_g$ diff --git a/contents/sections/spannungsteiler_2.md b/contents/sections/spannungsteiler_2.md index 2528c4c..56bdbce 100644 --- a/contents/sections/spannungsteiler_2.md +++ b/contents/sections/spannungsteiler_2.md @@ -7,42 +7,42 @@ Eine schwierige Frage, deshalb soll sie im Einzelnen erklärt werden! [question:AD115] Im belasteten Spannungsteiler fließen 3 Ströme: -$I_1$ fließt durch $R_1$ und verursacht dort eine Verlustleistung $P_1$ = $U_1$ * $I_1$ = $I_2$ * $R_1$ -$I_2$ fließt durch $R_2$ und verursacht dort eine Verlustleistung $P_2$ = $U_2$ * $I_2$ = ${I_2}^2$ * $R_2$ -$I_L$ fließt durch $R_L$ und verursacht dort eine Verlustleistung $P_L$ = $U_2$ * $I_L$ = ${I_L}^2$ * $R_L$ +$I_1$ fließt durch $R_1$ und verursacht dort eine Verlustleistung $P_1 = U_1 \cdot I_1 = I_2 \cdot R_1$ +$I_2$ fließt durch $R_2$ und verursacht dort eine Verlustleistung $P_2 = U_2 \cdot I_2 = {I_2}^2 \cdot R_2$ +$I_L$ fließt durch $R_L$ und verursacht dort eine Verlustleistung $P_L = U_2 \cdot I_L = {I_L}^2 \cdot R_L$ Der Strom $I_1$ ist die Summe von $I_2$ und $I_L$ und damit der größte Strom. Zur Veranschaulichung hilft am Besten eine Rechnung mit konkreten Bauteilwerten. -Angenommen: Alle Widerstände haben einen Wert von 1 kOhm und die Gesamtspannung $U_B$ beträgt 12 V. +Angenommen: Alle Widerstände haben einen Wert von $\qty{1}{\kilo\ohm}$ und die Gesamtspannung $U_B$ beträgt $\qty{12}{\volt}$. *unbelasteter Fall:* - Ohne Rechnung ist sofort zu sehen: An jedem Widerstand können 6 V gemesen werden. - Der Gesamtwiderstand $R_{ges}$ beträgt: 2 kOhm - $\dfrac{ U_{ges1 } }{ U_{ 2 } } = \frac{R_{ges }}{R_{2}}$ - Der Gesamtstrom $I_1$ beträgt: $I_1$ = $ \frac {U_B}{R_{ges}}$ - $I_1$ =$ \frac {12\ \text{V}}{2\ \text{k}\Omega}$ = 6 mA. Dieser Strom fließt auch durch $R_2$. - Die Verlustleistung ist an beiden Widerständen gleich groß: $P_1$ = $P_2$ = 6 V $\cdot\ 6 \text{mA}$ = 36 mW + Ohne Rechnung ist sofort zu sehen: An jedem Widerstand können $\qty{6}{\volt}$ gemesen werden. + Der Gesamtwiderstand $R_{\mathrm{ges}}$ beträgt: $\qty{2}{\kilo\ohm}$ + $\dfrac{U_B}{U_{2}} = \frac{R_{\mathrm{ges}}}{R_{2}}$ + Der Gesamtstrom $I_1$ beträgt: $I_1 = \frac{U_B}{R_{\mathrm{ges}}}$ + $I_1 = \frac{\qty{12}{\volt}}{\qty{2}{\kilo\ohm}} = \qty{6}{\milli\ampere}$. Dieser Strom fließt auch durch $R_2$. + Die Verlustleistung ist an beiden Widerständen gleich groß: $P_1 = P_2 = \qty{6}{\volt} \cdot \qty{6}{\milli\ampere} = \qty{36}{\milli\watt}$ *belasteter Fall:* - Die Parallelschaltung von $R_2$ und $R_L$ ergibt einen Ersatzwiderstand von 500 Ohm. - Der Gesamtwiderstand des Spannungsteilers beträgt nun 1, 5 kOhm. Jetzt wirkt eine Spannungsteiler mit 1 kOhm zu 500 Ohm und dementsprechend teilt sich die Gesamtspannung auf. - 2/3 der Gesamtspannung kann an $R_1$ und 1/3 der Gesamtspannung kann an 500 Ohm gemessen werden. - Formel: $\frac {U_1}{U_{ges}} = \frac {R_{1}}{R_{ges}} \ \ \ U_1 = U_{ges} * \frac {R_1}{R_{ges}}$ - $U_1$ = 12 V * ${\frac {1 \ \text{k}\Omega}{1,5\ \text{k}\Omega}}$ - $U_1$ = 8 V und am 500 Ohm Ersatzwiderstand 12 V - 8 V = 4 V. + Die Parallelschaltung von $R_2$ und $R_L$ ergibt einen Ersatzwiderstand von $\qty{500}{\ohm}$. + Der Gesamtwiderstand des Spannungsteilers beträgt nun $\qty{1,5}{\kilo\ohm}$. Jetzt wirkt eine Spannungsteiler mit $\qty{1}{\kilo\ohm}$ zu $\qty{500}{\ohm}$ und dementsprechend teilt sich die Gesamtspannung auf. + $2/3$ der Gesamtspannung kann an $R_1$ und $1/3$ der Gesamtspannung kann an $\qty{500}{\ohm}$ gemessen werden. + Formel: $\frac{U_1}{U_B} = \frac{R_{1}}{R_{\mathrm{ges}}} \Leftrightarrow U_1 = U_B \cdot \frac{R_1}{R_{\mathrm{ges}}}$ + $U_1 = \qty{12}{\volt} \cdot \frac{\qty{1}{\kilo\ohm}}{\qty{1,5}{\kilo\ohm}}$ + $U_1 = \qty{8}{\volt}$ und am $\qty{500}{\ohm}$ Ersatzwiderstand $\qty{12}{\volt} - \qty{8}{\volt} = \qty{4}{\volt}$. Nun betrachten wir die Ströme: - $I_1$ = 8 V / 1 kOhm = 8 mA. Dieser Strom steigt an. - An $R_2$ und $R_L$ liegen jetzt nur noch 4 V an, deshalb sinken beide Ströme auf $I_2$ = 4 V / 1 kOhm = 4 mA und $I_L$ = 4 V / 1 kOhm = 4 mA. + $I_1 = \qty{8}{\volt} / \qty{1}{\kilo\ohm} = \qty{8}{\milli\ampere}$. Dieser Strom steigt an. + An $R_2$ und $R_L$ liegen jetzt nur noch $\qty{4}{\volt}$ an, deshalb sinken beide Ströme auf $I_2 = \qty{4}{\volt} / \qty{1}{\kilo\ohm} = \qty{4}{\milli\ampere}$ und $I_L = \qty{4}{\volt} / \qty{1}{\kilo\ohm} = \qty{4}{\milli\ampere}$. Wie verändern sich die Verlustleistungen? *An $R_1$:* - $P_1$ = $U_1$ * $I_1$ = 8 V * 8 mA = 64 mW gegenüber 36 mW im unbelasteten Fall. + $P_1 = U_1 \cdot I_1 = \qty{8}{\volt} \cdot \qty{8}{\milli\ampere} = \qty{64}{\milli\watt}$ gegenüber $\qty{36}{\milli\watt}$ im unbelasteten Fall. *An $R_2$* : - $P_2$ = $U_2$ * $I_2$ = 4 V * 4mA = 16 mW gegenüber 36 mW im unbelasteten Fall. + $P_2 = U_2 \cdot I_2 = \qty{4}{\volt} \cdot \qty{4}{\milli\ampere} = \qty{16}{\milli\watt}$ gegenüber $\qty{36}{\milli\watt}$ im unbelasteten Fall. *An $R_L$:* - $P_L$ = $U_L$ * $I_L$ = 4 V * 4mA = 16 mW. + $P_L = U_L \cdot I_L = \qty{4}{\volt} \cdot \qty{4}{\milli\ampere} = \qty{16}{\milli\watt}$. Merke: Bei der Dimensionierung eines Spannungsteiler ist die Stromstärke durch die Widerstände zu berücksichtigen. Der Strom $I_1$ steigt, wenn ein Lastwiderstand angeschlossen wird und dadurch wird $R_1$ wärmer. diff --git a/contents/slides/brueckenschaltung.md b/contents/slides/brueckenschaltung.md index 5fd0598..c34f642 100644 --- a/contents/slides/brueckenschaltung.md +++ b/contents/slides/brueckenschaltung.md @@ -20,17 +20,17 @@ Messbrücke nach Wheatstone [question:AD113] --- style="font-size: 0.7em;" #### Lösungsweg -* gegeben: $R_1 = R_4 = 1kΩ$ -* gegeben: $R_2 = R_3 = 10kΩ$ -* gegeben: $U = 11V$ +* gegeben: $R_1 = R_4 = \qty{1}{\kilo\ohm}$ +* gegeben: $R_2 = R_3 = \qty{10}{\kilo\ohm}$ +* gegeben: $U = \qty{11}{\volt}$ * gesucht: $U_{AB}$ -$\frac{U_A}{U} = \frac{R_1}{R_1 + R_2} \Rightarrow U_A = \frac{R_1}{R_1 + R_2} \cdot U = \frac{1kΩ}{1kΩ + 10kΩ} \cdot 11V = 1V$ +$\frac{U_A}{U} = \frac{R_1}{R_1 + R_2} \Rightarrow U_A = \frac{R_1}{R_1 + R_2} \cdot U = \frac{\qty{1}{\kilo\ohm}}{\qty{1}{\kilo\ohm} + \qty{10}{\kilo\ohm}} \cdot \qty{11}{\volt} = \qty{1}{\volt}$ -$\frac{U_B}{U} = \frac{R_3}{R_3 + R_4} \Rightarrow U_B = \frac{R_3}{R_3 + R_4} \cdot U = \frac{10kΩ}{10kΩ + 1kΩ} \cdot 11V = 10V$ +$\frac{U_B}{U} = \frac{R_3}{R_3 + R_4} \Rightarrow U_B = \frac{R_3}{R_3 + R_4} \cdot U = \frac{\qty{10}{\kilo\ohm}}{\qty{10}{\kilo\ohm} + \qty{1}{\kilo\ohm}} \cdot \qty{11}{\volt} = \qty{10}{\volt}$ -$U_{AB} = |U_A - U_B| = |1V - 10V| = 9V$ +$U_{AB} = |U_A - U_B| = |\qty{1}{\volt} - \qty{10}{\volt}| = \qty{9}{\volt}$ \ No newline at end of file diff --git a/contents/slides/reihe_parallel_gemischt.md b/contents/slides/reihe_parallel_gemischt.md index 2b8e49b..561205b 100644 --- a/contents/slides/reihe_parallel_gemischt.md +++ b/contents/slides/reihe_parallel_gemischt.md @@ -12,27 +12,27 @@ Eigenkapazität einer Spule --- #### Lösungsweg -* gegeben: $C_1 = 0,10nF$ -* gegeben: $C_2 = 47pF$ -* gegeben: $C_3 = 22pF$ -* gesucht: $C_{\textrm{ges}}$ +* gegeben: $C_1 = \qty{0,10}{\nano\farad}$ +* gegeben: $C_2 = \qty{47}{\pico\farad}$ +* gegeben: $C_3 = \qty{22}{\pico\farad}$ +* gesucht: $C_{\mathrm{ges}}$ -$\begin{split} \tfrac{1}{C_{\textrm{ges}}} &= \tfrac{1}{C_1} + \tfrac{1}{C_2} + \tfrac{1}{C_3} = \tfrac{1}{0,10nF} + \tfrac{1}{47pF} + \tfrac{1}{22pF}\\ &= 7,67\cdot 10^{10} \tfrac{1}{F}\\ \Rightarrow C_{\textrm{ges}} &= \frac{1}{7,67\cdot 10^{10} \frac{1}{F}} \approx 13,0pF \end{split}$ +$\begin{split} \tfrac{1}{C_{\mathrm{ges}}} &= \tfrac{1}{C_1} + \tfrac{1}{C_2} + \tfrac{1}{C_3} = \tfrac{1}{\qty{0,10}{\nano\farad}} + \tfrac{1}{\qty{47}{\pico\farad}} + \tfrac{1}{\qty{22}{\pico\farad}}\\ &= \qty{7,67e10}{\farad^{-1}}\\ \Rightarrow C_{\mathrm{ges}} &= \frac{1}{\qty{7,67e10}{\farad^{-1}}} \approx \qty{13,0}{\pico\farad} \end{split}$ --- [question:AD103] --- #### Lösungsweg -* gegeben: $C_1 = 0,1nF$ -* gegeben: $C_2 = 1,5nF$ -* gegeben: $C_3 = 220pF$ -* gegeben: $C_{\textrm{L}} = 1pF$ -* gesucht: $C_{\textrm{ges}}$ +* gegeben: $C_1 = \qty{0,1}{\nano\farad}$ +* gegeben: $C_2 = \qty{1,5}{\nano\farad}$ +* gegeben: $C_3 = \qty{220}{\pico\farad}$ +* gegeben: $C_L = \qty{1}{\pico\farad}$ +* gesucht: $C_{\mathrm{ges}}$ -$\begin{split} C_{\textrm{ges}} &= C_1 + C_2 + C_3 + C_{\textrm{L}}\\ &= 0,1nF + 1,5nF + 220pF + 1pF\\ &= 1821pF \end{split}$ +$\begin{split} C_{\mathrm{ges}} &= C_1 + C_2 + C_3 + C_L\\ &= \qty{0,1}{\nano\farad} + \qty{1,5}{\nano\farad} + \qty{220}{\pico\farad} + \qty{1}{\pico\farad}\\ &= \qty{1821}{\pico\farad} \end{split}$ Einheitenpräfixe beachten und mit Kehrwerten rechnen @@ -43,16 +43,16 @@ Einheitenpräfixe beachten und mit Kehrwerten rechnen --- #### Lösungsweg -* gegeben: $R = 100\Omega$ -* gegeben: $L = 100\mu H$ -* gegeben: $f = 1MHz$ +* gegeben: $R = \qty{100}{\ohm}$ +* gegeben: $L = \qty{100}{\micro\henry}$ +* gegeben: $f = \qty{1}{\mega\hertz}$ * gesucht: $Z$ -$\begin{split} X_{\textrm{L}} &= \omega \cdot L = 2 \cdot \pi \cdot f \cdot L\\ &= 2 \cdot \pi \cdot 1MHz \cdot 100\mu H = 628\Omega\end{split}$ +$\begin{split} X_L &= \omega \cdot L = 2\pi \cdot f \cdot L\\ &= 2\pi \cdot \qty{1}{\mega\hertz} \cdot \qty{100}{\micro\henry} = \qty{628}{\ohm}\end{split}$ -$Z = \sqrt{R^2 + X^2} = \sqrt{(100\Omega)^2 + (628\Omega)^2} \approx 636\Omega$ +$Z = \sqrt{R^2 + X^2} = \sqrt{(\qty{100}{\ohm})^2 + (\qty{628}{\ohm})^2} \approx \qty{636}{\ohm}$ --- @@ -60,14 +60,14 @@ $Z = \sqrt{R^2 + X^2} = \sqrt{(100\Omega)^2 + (628\Omega)^2} \approx 636\Omega$ --- #### Lösungsweg -* gegeben: $R = 100\Omega$ -* gegeben: $C = 100nF$ -* gegeben: $f = 1MHz$ +* gegeben: $R = \qty{100}{\ohm}$ +* gegeben: $C = \qty{100}{\nano\farad}$ +* gegeben: $f = \qty{1}{\mega\hertz}$ * gesucht: $Z$ -$\begin{split} X_{\textrm{C}} &= \frac{1}{\omega \cdot C} = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot f \cdot C}\\ &= \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot 1MHz \cdot 100nF} = 159\Omega\end{split}$ +$\begin{split} X_C &= \frac{1}{\omega \cdot C} = \frac{1}{2\pi \cdot f \cdot C}\\ &= \frac{1}{2\pi \cdot \qty{1}{\mega\hertz} \cdot \qty{100}{\nano\farad}} = \qty{159}{\ohm}\end{split}$ -$Z = \sqrt{R^2 + X^2} = \sqrt{(100\Omega)^2 + (159\Omega)^2} \approx 188\Omega$ +$Z = \sqrt{R^2 + X^2} = \sqrt{(\qty{100}{\ohm})^2 + (\qty{159}{\ohm})^2} \approx \qty{188}{\ohm}$ diff --git a/contents/slides/reihe_parallel_kondensator.md b/contents/slides/reihe_parallel_kondensator.md index 487cda2..cbc7734 100644 --- a/contents/slides/reihe_parallel_kondensator.md +++ b/contents/slides/reihe_parallel_kondensator.md @@ -9,19 +9,19 @@ [picture:823:e_reihenschaltung_kondensatoren:Reihenschaltung von 3 Kondensatoren] -$\frac{ 1 }{ C_{ G } } = \frac{ 1 }{ C_{ 1 } } + \frac{ 1 }{ C_{ 2 } } + \frac{ 1 }{ C_{ 3 } }$ +$\frac{1}{C_{\mathrm{ges}}} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}}$ --- * Vereinfachung für zwei Kondensatoren: -$C_{ G } = \dfrac{ C_{ 1 } \cdot C_{ 2 } }{ C_{ 1 } + C_{ 2 }}$ +$C_{\mathrm{ges}} = \dfrac{C_{1} \cdot C_{2}}{C_{1} + C_{2}}$ --- * Vereinfachung für gleiche Kondensatoren: -$C_{ G } = \dfrac{ C }{ n }$ +$C_{\mathrm{ges}} = \dfrac{C}{n}$ $n$ steht für die Anzahl der Kondensatoren @@ -50,7 +50,7 @@ $n$ steht für die Anzahl der Kondensatoren [picture:822:e_parallelschaltung_kondensatoren:Parallelschaltung von 3 Kondensatoren] -$C_{ G } = C_{ 1 } + C_{ 2 } + C_{ 3 }$ +$C_{\mathrm{ges}} = C_{1} + C_{2} + C_{3}$ --- @@ -69,13 +69,13 @@ $C_{ G } = C_{ 1 } + C_{ 2 } + C_{ 3 }$ ### Variante 1: Zwei Parallel und dazu einer in Reihe -* Hier berechnet man zuerst die Parallelschaltung von $C_{ 2 }$ und $C_{ 3 }$ +* Hier berechnet man zuerst die Parallelschaltung von $C_{2}$ und $C_{3}$ -$C_{ Gp } = C_{ 2 } + C_{ 3 }$ +$C_{\mathrm{ges,p}} = C_{2} + C_{3}$ -* Danach berechnet man die Reihenschaltung von $C_{ 1 }$ und $C_{ Gp }$ +* Danach berechnet man die Reihenschaltung von $C_{1}$ und $C_{\mathrm{ges,p}}$ -$C_{ G } = \frac{ C_{ 1 } \cdot C_{ Gp } }{ C_{ 1 } + C_{ Gp }}$ +$C_{\mathrm{ges}} = \frac{C_{1} \cdot C_{\mathrm{ges,p}}}{C_{1} + C_{Gp}}$ [picture:820:e_gemischt_variante_1:Gemischte Schaltung - Variante 1] @@ -98,13 +98,13 @@ $C_{ G } = \frac{ C_{ 1 } \cdot C_{ Gp } }{ C_{ 1 } + C_{ Gp }}$ ### Variante 2: Zwei in Reihe und dazu einer Parallel -* Hier berechnet man zuerst die Reihenschaltung von $C_{ 1 }$ und $C_{ 2 }$ +* Hier berechnet man zuerst die Reihenschaltung von $C_{1}$ und $C_{2}$ -$C_{ Gr } = \frac{ C_{ 1 } \cdot C_{ 2 } }{ C_{ 1 } + C_{ 2 }}$ +$C_{\mathrm{ges,r}} = \frac{C_{1} \cdot C_{2}}{C_{1} + C_{2}}$ -* Danach berechnet man die Parallelschaltung von $C_{ 3 }$ und $C_{ Gr }$ +* Danach berechnet man die Parallelschaltung von $C_{3}$ und $C_{\mathrm{ges,r}}$ -$C_{ G } = \frac{ C_{ 3 } \cdot C_{ Gr } }{ C_{ 3 } + C_{ Gr }}$ +$C_{\mathrm{ges}} = \frac{C_{3} \cdot C_{\mathrm{ges,r}}}{C_{3} + C_{\mathrm{ges,r}}}$ [picture:457:e_gemischt_variante_2:Gemischte Schaltung - Variante 2] diff --git a/contents/slides/reihe_parallel_widerstand.md b/contents/slides/reihe_parallel_widerstand.md index 2710302..3636bbe 100644 --- a/contents/slides/reihe_parallel_widerstand.md +++ b/contents/slides/reihe_parallel_widerstand.md @@ -4,8 +4,8 @@ Bei einer Reihenschaltung addieren sich die Widerstandswerte [picture:812:e_reihenschaltung_von_r:Reihenschaltung von 3 Widerständen] -$R_{ G } = R_{ 1 } + R_{ 2 } + R_{ 3 }$ -Beispiel: $R_{ G } = 100 \Omega + 200 \Omega + 300 \Omega$ +$R_{\mathrm{ges}} = R_{1} + R_{2} + R_{3}$ +Beispiel: $R_{\mathrm{ges}} = \qty{100}{\ohm} + \qty{200}{\ohm} + \qty{300}{\ohm}$ --- style="font-size: 0.7em;" @@ -15,19 +15,19 @@ Bei einer Parallelschaltung von Widerständen ist der Gesamtwiderstand kleiner a [picture:811:e_parallelschaltung_von_r:Parallelschaltung von 3 Widerständen] -$\frac{ 1 }{ R_{ G } } = \frac{ 1 }{ R_{ 1 } } + \frac{ 1 }{ R_{ 2 } } + \frac{ 1 }{ R_{ 3 } }$ +$\frac{1}{R_{\mathrm{ges}}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}$ --- Vereinfachung für zwei Widerstände: -$R_{ G } = \dfrac{ R_{ 1 } \cdot R_{ 2 } }{ R_{ 1 } + R_{ 2 }}$ +$R_{\mathrm{ges}} = \dfrac{R_{1} \cdot R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$ --- Vereinfachung für gleiche Widerstände: -$R_{ G } = \dfrac{ R }{ n }$ +$R_{\mathrm{ges}} = \dfrac{R}{n}$ $n$ steht für die Anzahl der Widerstände --- @@ -57,7 +57,7 @@ Hier berechnet man zuerst die Parallelschaltung von $R_2$ und $R_3$ und addiert -$R_{ G } = \dfrac{ R_{ 2 } \cdot R_{ 3 } }{ R_{ 2 } + R_{ 3 }} + R_{ 1 }$ +$R_{\mathrm{ges}} = \dfrac{R_{2} \cdot R_{3}}{R_{2} + R_{3}} + R_{1}$ --- @@ -71,7 +71,7 @@ Hier addiert man zuerst $R_1$ und $R_2$ um mit diesem Ergebnis die Parallelschal -$R_{ G } = \dfrac{ (R_{ 1 } + R_{ 2 }) \cdot R_{ 3 }} {( R_{ 1 } + R_{ 2 }) + R_{ 3 }}$ +$R_{\mathrm{ges}} = \dfrac{(R_{1} + R_{2}) \cdot R_{3}} {(R_{1} + R_{2}) + R_{3}}$ --- diff --git a/contents/slides/reihe_parallel_widerstandsnetz_2.md b/contents/slides/reihe_parallel_widerstandsnetz_2.md index 976b57c..63c9086 100644 --- a/contents/slides/reihe_parallel_widerstandsnetz_2.md +++ b/contents/slides/reihe_parallel_widerstandsnetz_2.md @@ -10,104 +10,104 @@ Kirchhoff'sche Gesetze [question:AD106] --- #### Lösungsweg -* gegeben: $R_1 = R_2 = R_3 = 10kΩ$ -* gegeben: $I_3 = I_2 = 1mA$ +* gegeben: $R_1 = R_2 = R_3 = \qty{10}{\kilo\ohm}$ +* gegeben: $I_3 = I_2 = \qty{1}{\milli\ampere}$ * gesucht: $U$ -$R_{ges} = R_1 + \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = 10kΩ + \frac{10kΩ \cdot 10kΩ}{10kΩ + 10kΩ} = 15kΩ$ +$R_{\mathrm{ges}} = R_1 + \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = \qty{10}{\kilo\ohm} + \frac{\qty{10}{\kilo\ohm} \cdot \qty{10}{\kilo\ohm}}{\qty{10}{\kilo\ohm} + \qty{10}{\kilo\ohm}} = \qty{15}{\kilo\ohm}$ -$I_{ges} = I_2 + I_3 = 1mA + 1mA = 2mA$ +$I = I_2 + I_3 = \qty{1}{\milli\ampere} + \qty{1}{\milli\ampere} = \qty{2}{\milli\ampere}$ -$U = R_{ges} \cdot I_{ges} = 15kΩ \cdot 2mA = 30V$ +$U = R_{\mathrm{ges}} \cdot I = \qty{15}{\kilo\ohm} \cdot \qty{2}{\milli\ampere} = \qty{30}{\volt}$ --- [question:AD107] --- #### Lösungsweg -* gegeben: $R_1 = R_2 = R_3 = 10kΩ$ -* gegeben: $U=15V$ +* gegeben: $R_1 = R_2 = R_3 = \qty{10}{\kilo\ohm}$ +* gegeben: $U=\qty{15}{\volt}$ * gesucht: $I_3$ -$R_{ges} = R_1 + \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = 10kΩ + \frac{10kΩ \cdot 10kΩ}{10kΩ + 10kΩ} = 15kΩ$ +$R_{\mathrm{ges}} = R_1 + \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = \qty{10}{\kilo\ohm} + \frac{\qty{10}{\kilo\ohm} \cdot \qty{10}{\kilo\ohm}}{\qty{10}{\kilo\ohm} + \qty{10}{\kilo\ohm}} = \qty{15}{\kilo\ohm}$ -$\frac{U_3}{U} = \frac{R_{2\parallel 3}}{R_{ges}} \Rightarrow U_3 = \frac{R_{2\parallel 3}}{R_{ges}} \cdot U = \frac{5kΩ}{15kΩ} \cdot 15V = 5V$ +$\frac{U_3}{U} = \frac{R_2 \parallel R_3}{R_{\mathrm{ges}}} \Rightarrow U_3 = \frac{R_2 \parallel R_3}{R_{\mathrm{ges}}} \cdot U = \frac{\qty{5}{\kilo\ohm}}{\qty{15}{\kilo\ohm}} \cdot \qty{15}{\volt} = \qty{5}{\volt}$ -$I_3 = \frac{U_3}{R_3} = \frac{5V}{10kΩ} = 0,5mA$ +$I_3 = \frac{U_3}{R_3} = \frac{\qty{5}{\volt}}{\qty{10}{\kilo\ohm}} = \qty{0,5}{\milli\ampere}$ --- [question:AD108] --- #### Lösungsweg -* gegeben: $R_1 = R_2 = R_3 = 10kΩ$ -* gegeben: $U=15V$ +* gegeben: $R_1 = R_2 = R_3 = \qty{10}{\kilo\ohm}$ +* gegeben: $U=\qty{15}{\volt}$ * gesucht: $P_2$ -$\frac{U_2}{U} = \frac{R_{2\parallel 3}}{R_{ges}} \Rightarrow U_2 = \frac{R_{2\parallel 3}}{R_{ges}} \cdot U = \frac{5kΩ}{15kΩ} \cdot 15V = 5V$ +$\frac{U_2}{U} = \frac{R_2 \parallel R_3}{R_{\mathrm{ges}}} \Rightarrow U_2 = \frac{R_2 \parallel R_3}{R_{\mathrm{ges}}} \cdot U = \frac{\qty{5}{\kilo\ohm}}{\qty{15}{\kilo\ohm}} \cdot \qty{15}{\volt} = \qty{5}{\volt}$ -$P_2 = \frac{U_2^2}{R_2} = \frac{(5V)^2}{10kΩ} = 2,5mW$ +$P_2 = \frac{U_2^2}{R_2} = \frac{(\qty{5}{\volt})^2}{\qty{10}{\kilo\ohm}} = \qty{2,5}{\milli\watt}$ --- [question:AD109] --- #### Lösungsweg -* gegeben: $R = 0\dots 1kΩ$ -* gegeben: $R_1 = 200Ω$ +* gegeben: $R = \qtyrange{0}{1}{\kilo\ohm}$ +* gegeben: $R_1 = \qty{200}{\ohm}$ -* gegeben: $R_2 = 100Ω$ -* gegeben: $R_3 = 200Ω$ +* gegeben: $R_2 = \qty{100}{\ohm}$ +* gegeben: $R_3 = \qty{200}{\ohm}$ -$R_{ges} = R_1 + \frac{R_2 \cdot (R_3 + R)}{R_2 + (R_3 + R)}$ +$R_{\mathrm{ges}} = R_1 + \frac{R_2 \cdot (R_3 + R)}{R_2 + (R_3 + R)}$ -Bei $R = 0Ω$: -$R_{ges} = 200Ω + \frac{100Ω \cdot (200Ω + 0Ω)}{100Ω + 200Ω +0Ω} \approx 267Ω$ +Bei $R = \qty{0}{\ohm}$: +$R_{\mathrm{ges}} = \qty{200}{\ohm} + \frac{\qty{100}{\ohm} \cdot (\qty{200}{\ohm} + \qty{0}{\ohm})}{\qty{100}{\ohm} + \qty{200}{\ohm} + \qty{0}{\ohm}} \approx \qty{267}{\ohm}$ -Bei $R = 1kΩ$: -$R_{ges} = 200Ω + \frac{100Ω \cdot (200Ω + 1kΩ)}{100Ω + 200Ω +1kΩ} \approx 292Ω$ +Bei $R = \qty{1}{\kilo\ohm}$: +$R_{\mathrm{ges}} = \qty{200}{\ohm} + \frac{\qty{100}{\ohm} \cdot (\qty{200}{\ohm} + \qty{1}{\kilo\ohm})}{\qty{100}{\ohm} + \qty{200}{\ohm} +\qty{1}{\kilo\ohm}} \approx \qty{292}{\ohm}$ --- [question:AD110] --- #### Lösungsweg -* gegeben: $R_1 = R_3 = 2,2kΩ$ -* gegeben: $R_2 = R_4 = 220Ω$ -* gesucht: $R_{ges}$ +* gegeben: $R_1 = R_3 = \qty{2,2}{\kilo\ohm}$ +* gegeben: $R_2 = R_4 = \qty{220}{\ohm}$ +* gesucht: $R_{\mathrm{ges}}$ -$\begin{split} R_{ges} &= \frac{(R_1 + R_2) \cdot (R_3 + R_4)}{(R_1 + R_2) + (R_3 + R_4)}\\ &= \frac{(2,2kΩ + 220Ω) \cdot (2,2kΩ + 220Ω)}{2,2kΩ + 220Ω + 2,2kΩ + 220Ω}\\ &= 1210Ω\end{split}$ +$\begin{split} R_{\mathrm{ges}} &= \frac{(R_1 + R_2) \cdot (R_3 + R_4)}{(R_1 + R_2) + (R_3 + R_4)}\\ &= \frac{(\qty{2,2}{\kilo\ohm} + \qty{220}{\ohm}) \cdot (\qty{2,2}{\kilo\ohm} + \qty{220}{\ohm})}{\qty{2,2}{\kilo\ohm} + \qty{220}{\ohm} + \qty{2,2}{\kilo\ohm} + \qty{220}\ohm}\\ &= \qty{1210}{\ohm}\end{split}$ --- [question:AD114] --- #### Lösungsweg -* gegeben: $R_1 = 10kΩ$ -* gegeben: $R_2 = 2,2kΩ$ -* gegeben: $R_L = 8,2kΩ$ +* gegeben: $R_1 = \qty{10}{\kilo\ohm}$ +* gegeben: $R_2 = \qty{2,2}{\kilo\ohm}$ +* gegeben: $R_L = \qty{8,2}{\kilo\ohm}$ -* gegeben: $U_B = 12V$ +* gegeben: $U_B = \qty{12}{\volt}$ * gesucht: $U_2$ -$\frac{U_2}{U_B} = \frac{R_{2\parallel L}}{R_{ges}}$ -$R_{2\parallel L} = \frac{R_2 \cdot R_L}{R_2 + R_L} = \frac{2,2kΩ \cdot 8,2kΩ}{2,2kΩ + 8,2kΩ} = 1,74kΩ$ -$R_{ges} = R_1 + R_{2\parallel L} = 10kΩ + 1,74kΩ = 11,74kΩ$ +$\frac{U_2}{U_B} = \frac{R_2 \parallel R_L}{R_{\mathrm{ges}}}$ +$R_2 \parallel R_L = \frac{R_2 \cdot R_L}{R_2 + R_L} = \frac{\qty{2,2}{\kilo\ohm} \cdot \qty{8,2}{\kilo\ohm}}{\qty{2,2}{\kilo\ohm} + \qty{8,2}{\kilo\ohm}} = \qty{1,74}{\kilo\ohm}$ +$R_{\mathrm{ges}} = R_1 + R_2 \parallel R_L = \qty{10}{\kilo\ohm} + \qty{1,74}{\kilo\ohm} = \qty{11,74}{\kilo\ohm}$ -$U_2 = \frac{R_{2\parallel L}}{R_{ges}} \cdot U_B = \frac{1,74kΩ}{11,74kΩ} \cdot 12V \approx 1,8V$ - \ No newline at end of file +$U_2 = \frac{R_2 \parallel R_L}{R_{\mathrm{ges}}} \cdot U_B = \frac{\qty{1,74}{\kilo\ohm}}{\qty{11,74}{\kilo\ohm}} \cdot \qty{12}{\volt} \approx \qty{1,8}{\volt}$ + diff --git a/contents/slides/reihenschaltung_spule.md b/contents/slides/reihenschaltung_spule.md index b3e1d96..fc15b1c 100644 --- a/contents/slides/reihenschaltung_spule.md +++ b/contents/slides/reihenschaltung_spule.md @@ -1,7 +1,7 @@ [photo:291:a_Spule mit Anzapfungen:Spule mit 14 Anzapfungen in einem selbstgebauten Antennenanpassgerät] -$L_\text{G} = L_1 + L_2 + L_3 + ... + L_n$ +$L_{\mathrm{ges}} = L_1 + L_2 + L_3 + \dots$ * Bei einer Spule in Reihenschaltung addieren sich die Induktivitäten @@ -13,4 +13,4 @@ $L_\text{G} = L_1 + L_2 + L_3 + ... + L_n$ --- #### Lösungsweg -$L_{ges} = 2200nH + 0,033mH + 150µH = 185,2µH$ \ No newline at end of file +$L_{\mathrm{ges}} = \qty{2200}{\nano\henry} + \qty{0,033}{\milli\henry} + \qty{150}{\micro\henry} = \qty{185,2}{\micro\henry}1$ diff --git a/contents/slides/spannungsteiler_1.md b/contents/slides/spannungsteiler_1.md index cd0ddd1..eb455f7 100644 --- a/contents/slides/spannungsteiler_1.md +++ b/contents/slides/spannungsteiler_1.md @@ -11,7 +11,7 @@ * Das kann man mathematisch in folgender Formel ausdrücken (Formelsammlung): -$\dfrac{ U_{ 1 } }{ U_{ 2 } } = \dfrac{ R_{ 1 } }{ R_{ 2 } }$ +$\dfrac{U_{1}}{U_{2}} = \dfrac{R_{1}}{R_{2}}$ [picture:819:e_spannungsteiler:Spannungsteiler] @@ -22,8 +22,8 @@ $\dfrac{ U_{ 1 } }{ U_{ 2 } } = \dfrac{ R_{ 1 } }{ R_{ 2 } }$ Wie geht man an die Aufgaben ran? * Beispiele: -* Wenn $R_{ 1 }$ drei mal so groß wie $R_{ 2 }$ ist, ist $U_{ 1 }$ drei mal so groß wie $U_{ 2 }$. -* Wenn $R_{ 1 }$ $\frac{ 1 }{ 3 }$ so groß wie $R_{ 2 }$ ist, ist $U_{ 1 }$ $\frac{ 1 }{ 3 }$ so groß wie $U_{ 2 }$. +* Wenn $R_{1}$ drei mal so groß wie $R_{2}$ ist, ist $U_{1}$ drei mal so groß wie $U_{2}$. +* Wenn $R_{1}$ $\frac{1}{3}$ so groß wie $R_{2}$ ist, ist $U_{1}$ $\frac{1}{3}$ so groß wie $U_{2}$. Schauen wir uns dazu zwei Aufgaben an. @@ -40,7 +40,7 @@ Schauen wir uns dazu zwei Aufgaben an. * Die Summe der Spannnungsabfälle ist gleich der Spannung, die aus der Spannungsquelle herauskommt. * Das kann man mathematisch in folgender Formel ausdrücken (Formelsammlung): -$U_{ G } = U_{ 1 } + U_{ 2 }$ +$U_g = U_{1} + U_{2}$ @@ -50,9 +50,9 @@ $U_{ G } = U_{ 1 } + U_{ 2 }$ --- -* Hat man eine Gesamtspannung und muss $U_{ 2 }$ berechnen, können wir ebenfalls auf eine Formel aus der Formelsammlung zurückgreifen: +* Hat man eine Gesamtspannung und muss $U_{2}$ berechnen, können wir ebenfalls auf eine Formel aus der Formelsammlung zurückgreifen: -$\dfrac{ U_{ 2 } }{ U_{ G } } = \dfrac{ R_{ 2 } }{ R_{ 1 } + R_{ 2 } }$ +$\dfrac{U_{2}}{U_g} = \dfrac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$ [picture:819:E 63. Spannungsteiler:Spannungsteiler] @@ -61,9 +61,9 @@ $\dfrac{ U_{ 2 } }{ U_{ G } } = \dfrac{ R_{ 2 } }{ R_{ 1 } + R_{ 2 } }$ --- -* Diese muss man noch zu $U_{ 2 }$ umstellen, indem man auf beiden Seiten mit $U_{ G }$ multipliziert, dann erhält man: +* Diese muss man noch zu $U_{2}$ umstellen, indem man auf beiden Seiten mit $U_g$ multipliziert, dann erhält man: -$U_{ 2 } = \dfrac{ R_{ 2 } }{ R_{ 1 } + R_{ 2 } } \cdot U_{ G }$ +$U_{2} = \dfrac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}} \cdot U_g$ * Damit kann man sich dann auch an die nächste Aufgabe heranwagen. diff --git a/contents/slides/spannungsteiler_2.md b/contents/slides/spannungsteiler_2.md index d0902e6..90b9190 100644 --- a/contents/slides/spannungsteiler_2.md +++ b/contents/slides/spannungsteiler_2.md @@ -12,6 +12,6 @@ Im belasteten Spannungsteiler fließen 3 Ströme: * $I_1$ fließt durch $R_1$ und verursacht dort eine Verlustleistung $P_1 = U_1 \cdot I_1 = I_2 \cdot R_1$ * $I_2$ fließt durch $R_2$ und verursacht dort eine Verlustleistung $P_2 = U_2 \cdot I_2 = {I_2}^2 \cdot R_2$ -* $I_L$ fließt durch $R_L$ und verursacht dort eine Verlustleistung $P_L = U_2 \cdot I_L = {I_L}^2 \cdot R_L$ +* $I_L$ fließt durch $R_L$ und verursacht dort eine Verlustleistung $P_L = U_2 \cdot I_L = {I_L}^2 \cdot R_L$ * Der Strom $I_1$ ist die Summe von $I_2$ und $I_L$ und damit der größte Strom.