diff --git a/contents/sections/dezibel_1.md b/contents/sections/dezibel_1.md index b191f56..aa97d93 100644 --- a/contents/sections/dezibel_1.md +++ b/contents/sections/dezibel_1.md @@ -52,45 +52,10 @@ $g = 10\cdot \log_{10}\left(\frac{\qty{100}{\watt}}{\qty{50}{\watt}}\right)\unit Für die Klasse E ist es zunächst ausreichend, den Dezibelwert für den Leistungsfaktor 2 zu kennen. Die Formelsammlung enthält dazu eine Tabelle, die auch in Tabelle [ref:e_dezibel_leistungsfaktoren] dargestellt ist. Daraus lässt sich ablesen, dass ein Leistungsfaktor von 2 einem Dezibelwert von $\qty{3}{\dB}$ entspricht. Das ausführliche Rechnen mit Dezibelwerten wird erst in der Klasse A behandelt. -%TODO: ^--- Prüfen ob Formeln in der Klasse E gebraucht werden! (DL9MJ) - -Ganz ohne Taschenrechner lassen sich Dezibelwerte abschätzen, die auf "0" enden .. einfach die letzte Null zuhalten, die Ziffer gibt dann die Anzahl der Nullen des Verhältnisfaktors an. Beispiel: $\qty{30}{\dB} \rightarrow 3 \rightarrow \text{3 Nullen} \rightarrow \text{Verhältnisfaktor 1000}$! +Ganz ohne Taschenrechner lassen sich Dezibelwerte abschätzen, die auf "0" enden: Einfach die letzte Null zuhalten, die Ziffer gibt dann die Anzahl der Nullen des Verhältnisfaktors an. Beispiel: $\qty{30}{\dB} \rightarrow 3 \rightarrow \text{3 Nullen} \rightarrow \text{Verhältnisfaktor 1000}$! [question:EA107] -Neben der Einheit $\unit{dB}$ begegnet man in der Praxis häufig auch Angaben wie $\unit{\dBi}$, $\unit{\dBm}$, $\unit{\dBW}$ oder $\unit{\dBu}$. Diese Zusätze geben an, auf welche Bezugsgröße sich der jeweilige Dezibelwert bezieht. - -Das Bel ($\unit{\bel}$) beziehungsweise das Dezibel ($\unit{\dB}$) beschreibt grundsätzlich ein dimensionsloses Verhältnis, etwa von Leistungen oder Spannungen. Deshalb wird $\unit{\dB}$ vor allem zur Angabe von Verstärkungen und Dämpfungen verwendet. In diesen Fällen ist kein weiterer Zusatz notwendig, da lediglich das Verhältnis zweier Größen angegeben wird. - -Sollen Dezibelwerte jedoch als absolute Pegel angegeben werden, ist eine feste Bezugsgröße erforderlich. Diese Bezugsgröße kann zum Beispiel eine Leistung von $\qty{1}{\milli\watt}$, eine Leistung von $\qty{1}{\watt}$ oder eine Spannung von $\qty{0,775}{\volt}$ sein. Entsprechend wird der Dezibelwert mit einem Zusatz versehen: Bezieht sich der Pegel beispielsweise auf $\qty{1}{\milli\watt}$, spricht man von $\unit{\dBm}$. Auf diese Weise wird eindeutig festgelegt, welcher absolute Wert dem Dezibelpegel zugrunde liegt. - -Findet man eine Angabe wie „Der Sender hat eine Ausgangsleistung von $\qty{20}{\dBm}$“, lässt sich dieser Wert leicht in Milliwatt umrechnen. Ein Pegel von $\qty{20}{\dB}$ entspricht einem Leistungsfaktor von 100 (also zwei Nullen). Dieser Faktor wird mit der Bezugsgröße von $\qty{1}{\milli\watt}$ multipliziert: - -$ P = 100 \cdot \qty{1}{\milli\watt} = \qty{100}{\milli\watt}$ - -Weitere Beispiele sind, $\qty{0}{\dBm} \equiv \qty{1}{\milli\watt}$, oder $\qty{50}{\dBm} \equiv \qty{100}{\watt}$ - -%TODO: ggf die Umrechnung in die andere Richtung hinzufügen falls das in der Klasse E gebraucht wird. (DL9MJ) - ---- - -Warum macht man das Ganze? Wie bereits angedeutet, dient die Verwendung von Dezibel vor allem dazu, Rechnungen zu vereinfachen. Durch die Darstellung von Verstärkungen und Dämpfungen in Dezibel lassen sich komplette Signalketten sehr einfach durch Addition und Subtraktion überschlagen, ohne auf umständliche Multiplikationen und Divisionen zurückgreifen zu müssen. - -Abbildung [ref:e_signalkette] zeigt eine solche Signalkette mit drei Verstärkerstufen. Das Eingangssignal besitzt eine Leistung von $\qty{1}{\milli\watt}$, was $\qty{0}{\dBm}$ entspricht. Durch die drei Verstärkerstufen wird das Signal insgesamt auf $\qty{60}{\dBm}$ verstärkt (also $1000000\cdot \qty{1}{\milli\watt}$), was einer Leistung von $\qty{1000}{\watt}$ entspricht. - -Abbildung [ref:e_signalkette_2] zeigt ein weiteres Beispiel einer Signalkette, bei der zusätzlich ein Dämpfungsglied mit einer Dämpfung von $\qty{20}{\dB}$ eingesetzt wird, was einer negativen Verstärkung von $\qty{-20}{\dB}$ entspricht. Das Eingangssignal besitzt eine Leistung von $\qty{1}{\milli\watt}$, also $\qty{0}{\dBm}$. Durch die erste Verstärkerstufe wird das Signal auf $\qty{10}{\dBm}$ angehoben. Anschließend wird es durch das Dämpfungsglied auf $\qty{-10}{\dBm}$ abgeschwächt und schließlich durch die zweite Verstärkerstufe wieder auf $\qty{0}{\dBm}$ verstärkt. - - -[picture:877:e_signalkette:Signalkette mit drei Verstärken] -[picture:1053:e_signalkette_2:Signalkette mit zwei Verstärken und einem Dämpfungsglied] - - - -Wieso ist es zulässig vom Pegel $\qty{9}{\dBm}$ eine Dämpfung von $\qty{3}{\dB}$ abzuziehen? Beide Werte haben doch unterschiedliche Maßeinheiten! -Bei der Einheit Bel ($\unit{\bel}$) bzw. Dezibel ($\unit{\dB}$) handelt es sich um eine Hilfsmaßeinheit (auch Pseudoeinheit). -Im Prinzip könnte der Zahlenwert auch ohne die Einheit $\unit{\dB}$ geschrieben werden, aber mit dem Zusatz $\unit{\dB}$ wird deutlich, dass es um ein logarithmisches Verhältnis von zwei Größen geht. Ohne diese Einheit müsste man verbal beschreiben welche Bedeutung der Zahlenwert hat. - - -Zusätzlich gibt es die Zusätze $\unit{\dBd}$ und $\unit{\dBi}$, die bei der Angabe von Antennengewinnen verwendet werden. In diesem Fall bezieht sich der Dezibelwert nicht auf eine Leistung oder Spannung, sondern auf einen bestimmten Referenzstrahler. Üblich sind dabei $\unit{\dBi}$, bezogen auf den isotropen Kugelstrahler, sowie $\unit{\dBd}$, bezogen auf den Halbwellendipol. Dieses Wissen werden wir benötigen, wenn wir uns später mit Antennen beschäftigen. +Neben der Einheit $\unit{dB}$ begegnet man in der Praxis häufig auch Angaben wie $\unit{\dBi}$, $\unit{\dBm}$, $\unit{\dBW}$ oder $\unit{\dBu}$. Diese Zusätze geben an, auf welche Bezugsgröße sich der jeweilige Dezibelwert bezieht. In der Klasse E werden uns insbesondere bei Antennen die Angaben $\unit{\dBi}$ und $\unit{\dBd}$ im Antennenkapitel begegnen. Die anderen Größen wie $\unit{\dBm}$ und $\unit{\dBW}$ werden erst für die Klasse A benötigt. \ No newline at end of file diff --git a/contents/sections/dezibel_2.md b/contents/sections/dezibel_2.md index 88e87ff..3dd2716 100644 --- a/contents/sections/dezibel_2.md +++ b/contents/sections/dezibel_2.md @@ -1,104 +1,161 @@ -%%%%%%%%%%%%%%%%% Aus der Klasse E kopiert. TODO einarbeiten +In der Klasse E haben wir bereits das Dezibel als Werkzeug zum Beschreiben von Verhältnissen kennengelernt und gesehen, dass eine Leistungsänderung von $\qty{3}{\dB}$ einem Leistungsfaktor von $\num{2}$ entspricht. In der Formelsammlung finden wir die Tabelle [ref:a_dezibel_leistungsfaktoren], welche weitere wichtige Entsprechungen beinhaltet. + + +| c:dB | c:≈ Leistungsfaktor | +| $-20$ | $\num{0,01}$ | +| $-10$ | $\num{0,1}$ | +| $-6$ | $\num{0,25}$ | +| $-3$ | $\num{0,5}$ | +| $-1$ | $\num{0,79}$ | +| $0$ | $\num{1}$ | +| $1,5$ | $\sqrt{2} = \num{1,41}$ | +| $2,15$ | $\num{1,64}$ | +| $3$ | $\num{2}$ | +| $5$ | $\sqrt{10} = \num{3,16}$ | +| $6$ | $\num{4}$ | +| $10$ | $\num{10}$ | +| $20$ | $\num{100}$ | +[table:a_dezibel_leistungsfaktoren:Wichtige Leistungsfaktoren in $\unit{\dB}$] + + +Die Formelsammlung gibt für das Umrechnen eines Leistungsverhältnisses in $\unit{\dB}$ folgende Formel an, welche wir auch schonmal in der Klasse E kennen gelernt haben. Das Verhältnis $g$ zweier Leistungen $P_1$ und $P_2$ in $\unit{\dB}$ ist: + +$g = 10\cdot \log_{10}\left(\frac{P_2}{P_1}\right)\unit{\dB}$ + +Möchte man aus einem $\unit{\dB}$-Wert einen Verhältnisfaktor ermitteln, so muss die Formel umgestellt werden: + +$\begin{align} g &= 10 \cdot \log_{10}\left( x \right) \unit{\dB} & \quad\quad\quad &|: \qty{10}{\dB} \\ \frac{g}{\qty{10}{\dB}} &= \log_{10}\left( x \right) &~&| \quad 10^{x}\\ x &= 10^{\frac{g}{\qty{10}{\dB}}} &~&~\end{align}$ + +Mit diesen beiden Formeln können wir also leicht zwischen $\unit{\dB}$-Angaben und Verhältnisfaktoren umrechnen. Versuche nun die zwei folgenden Fragen zu berechnen: --- -Wenn wir nun den zu einem Dezibel-Wert gehörenden Verhältniswert finden wollen, rechnen wir: - -$b = 10^{\frac{a/\unit{\dB}}{10}}$ - -Nun zurück zu unserem Verstärkungsfaktor des Kurzwellenempfängers. Der dekadische Logarithmus einer Eins mit 12 Nullen ist einfach die Anzahl der Nullen, also 12, multipliziert mit 10, ergibt den Verstärkungsfaktor von $\qty{120}{\dB}$. - - -In der Frage wird noch der Begriff _Leistungspegel_ verwendet. Das ist das logarithmisch ausgedrückte Verhältnis einer Leistung zu einer Referenzleistung. - -So ist die Leistung *b* bezogen auf $\qty{1}{\watt}$: - -$a = \qty{\left(10\cdot\log_{10}{\frac{b}{\qty{1}{\watt}}}\right)}{\dBW}$ - -bzw. bezogen auf ein Milliwatt: - -$a = \qty{\left(10\cdot\log_{10}{\frac{b}{\qty{1}{\milli\watt}}}\right)}{\dBm}$ - -Nun zur Lösung der Frage. Die Leistung wird verdoppelt - um wieviel $\unit{\dB}$ ändert sich der Leistungspegel? Hier ist also das Leistungsverhältnis $b=2$. - -$10 \cdot \log_{10}{2} = \qty{3,01}{\dB} \approx \qty{3}{\dB}$ - -Negative Dezibelwerte kennzeichnen übrigens Verhältniswerte kleiner als 1. So entspricht $\qty{-3}{\dB}$ einem Verhältniswert von $\num{0,5}$ ($\frac{1}{2}$). - -%%%%%%%%%%%%%%%%% - -% Dezibel II, DF2DR, 2024-08-17 - -Den Begriff der Logarithmus und das Dezibel ($\unit{\dB}$) als Form der logarithmischen Angabe von Leistungsverhältnissen hatten wir bereits eingeführt. - -%TODO: Wie kann der Erklärungstext aus "Dezibel I" hier verlinkt werden? - -Kurz zur Wiederholung: das Verhältnis *a* zweier Leistungen $P_1$ und $P_2$ in $\unit{\dB}$ ist: - -$a = 10 \cdot\log\left(\frac{P_1}{P_2}\right)\unit{\dB}$ - -Aus dem Dezibel abgeleitet hatten wir die *Leistungspegel* als logarithmische Maße: - -- Leistung bezogen auf $\qty{1}{\watt}$: $\unit{\dBW}$ -- Leistung bezogen auf $\qty{1}{\milli\watt}$: $\unit{\dBm}$ - -Das Dezibel können wir auch verwenden, um *Spannungsverhältnisse* und *Spannungspegel* anzugeben. Dazu berücksichtigen wir, dass die Leistung proportional zum Quadrat der Spannung ist. Also können wir schreiben: - -$a = 10 \cdot \log\left(\frac{P_1}{P_2}\right) = 10 \cdot \log\left(\frac{U_1^2}{U_2^2}\right)$ - -Der Logarithmus einer quadrierten Zahl ist aber gleich zweimal dem Logarithmus der Zahl: - -$\lg(x^2)=2 \cdot \lg(x)$ - -Also: - -$10 \cdot \log\left(\frac{U_1^2}{U_2^2}\right)=20 \cdot \log_{10}\left(\frac{U_1}{U_2}\right)$ - -Daher berechnen wir ein Verhältnis *a* zweier Spannungen $U_1$ und $U_2$, indem wir den Logarithmus des Verhältnisses nicht mit dem Faktor 10, sondern mit dem Faktor 20 multiplizieren: - -$a = 20 \cdot \log \left(\frac{U_1}{U_2}\right)\unit{\dB}$ +[question:AA105] +[question:AA106] -Bei der Dezibel-Berechnung immer genau beachten, ob es sich um Leistungs- oder Spannungsverhältnisse handelt! +In der Klasse E haben wir bereits folgenden Trick kennengelernt: Ganz ohne Taschenrechner lassen sich Dezibelwerte abschätzen, die auf "0" enden: Einfach die letzte Null zuhalten, die Ziffer gibt dann die Anzahl der Nullen des Verhältnisfaktors an. Beispiel: $\qty{30}{\dB} \rightarrow 3 \rightarrow \text{3 Nullen} \rightarrow \text{Verhältnisfaktor 1000}$! + +Auch anders herum lässt es sich leicht berechnen: Eins mit 12 Nullen ($\num{1000000000000}$) in $\unit{\dB}$ ist einfach die Anzahl der Nullen, also 12, multipliziert mit 10. Es ergibt sich so ein Verstärkungsfaktor von $\qty{120}{\dB}$. + +Aber auch für $\unit{\dB}$-Werte die nicht auf 0 enden kann man durch Zerlegung den entsprechenden Faktor ermitteln: + +* Man kann $\qty{9}{\dB}$ in $\qty{6}{\dB} + \qty{3}{\dB}$ zerlegen, was einer Multiplikation von $4\cdot 2 = 8$ entspricht. +* Welcher Faktor entspricht einem Leistungsverhältnis von $\qty{17}{\dB}$? $\qty{17}{\dB} = \qty{20}{\dB} - \qty{3}{\dB}$, also Faktor $100$ durch $2$ gleich $50$. -Zur Bestimmung von Spannungspegeln müssen wir wieder erst eine Bezugsspannung festlegen. Bei Empfangssignalen messen wir die (sehr kleinen) Spannungen am Empfängereingang gern in $\unit{\micro\volt}$. Der zugehörige Spannungspegel hat dann die Einheit $\unit{\dBuV}$. Beispiel: +Das Dezibel ($\unit{\dB}$) beschreibt grundsätzlich ein dimensionsloses Verhältnis, etwa von Leistungen oder Spannungen. Deshalb wird $\unit{\dB}$ vor allem zur Angabe von Verstärkungen und Dämpfungen verwendet. In diesen Fällen ist kein weiterer Zusatz notwendig, da lediglich das Verhältnis zweier Größen angegeben wird. Negative Dezibelwerte kennzeichnen übrigens Verhältniswerte kleiner als 1. So entspricht $\qty{-3}{\dB}$ einem Verhältniswert von $\frac{1}{2} = \num{0,5}$. -$\qty{10}{\micro\volt} \rightarrow 20 \cdot \log\left(\frac{\qty{10}{\micro\volt}}{\qty{1}{\micro\volt}}\right)=\qty{20}{\dBuV}$ +Man kann aber auch Dezibelwerte nutzen, um einen absoluten Pegel anzugeben. Dafür ist allerdings eine feste Bezugsgröße $P_0$ erforderlich: + +$p = 10\cdot \log_{10}\left(\frac{P}{P_0}\right)\unit{\dB}$ + +--- + +Diese Bezugsgröße kann zum Beispiel eine Leistung von $\qty{1}{\milli\watt}$ sein. In diesem Fall erhält der Dezibelwert einen entsprechenden Zusatz: Bezieht sich der Pegel auf $\qty{1}{\milli\watt}$, spricht man von $\unit{\dBm}$. Dadurch ist eindeutig festgelegt, auf welchen absoluten Leistungswert sich der Dezibelpegel bezieht. + +Trifft man beispielsweise auf die Angabe „Der Sender hat eine Ausgangsleistung von $\qty{20}{\dBm}$“, lässt sich dieser Wert leicht in Milliwatt umrechnen. Ein Pegel von $\qty{20}{\dB}$ entspricht einem Leistungsfaktor von 100 (also zwei Nullen). Dieser Faktor wird mit der Bezugsgröße von $\qty{1}{\milli\watt}$ multipliziert: + +$ P = 100 \cdot \qty{1}{\milli\watt} = \qty{100}{\milli\watt}$ + +In der Tabelle [ref:a_bezugsgroessen] sind die wichtigsten Bezugsgrößen und ihre jeweiligen $\unit{\dB}$-Abkürzungen aufgelistet. + + +| l: Abkürzung | X: Bezugswert | +| $\unit{\dBm}$ | $\qty{1}{\milli\watt}$ | +| $\unit{\dBW}$ | $\qty{1}{\watt}$ | +| $\unit{\dBu}$ | $\qty{0,775}{\volt}$ | +| $\unit{\dB\micro\volt}$ | $\qty{1}{\micro\volt}$ | +[table:a_bezugsgroessen:Wichtige Bezugsgrößen aus der Formelsammlung] + + +Die folgenden Fragen lassen sich mit Hilfe der Formel aus der Formelsammlung und deren Umstellung vom Anfang dieser Lektion berechnen, wenn die richtige Bezugsgröße verwendet wird. + +[question:AA109] +[question:AA110] +[question:AA107] +[question:AA108] + +--- + +Warum macht man das Ganze überhaupt und gibt absolute Leistungen in $\unit{\dBm}$ und $\unit{\dBW}$ an? Wie bereits in der Klasse E angedeutet, dient die Verwendung von Dezibel vor allem dazu, Rechnungen zu vereinfachen. Durch die Darstellung von Verstärkungen und Dämpfungen in Dezibel lassen sich komplette Signalketten sehr einfach durch Addition und Subtraktion überschlagen, ohne auf umständliche Multiplikationen und Divisionen zurückgreifen zu müssen. + +Abbildung [ref:e_signalkette] zeigt eine solche Signalkette mit drei Verstärkerstufen. Das Eingangssignal besitzt eine Leistung von $\qty{1}{\milli\watt}$, was $\qty{0}{\dBm}$ entspricht. Durch die drei Verstärkerstufen wird das Signal insgesamt auf $\qty{60}{\dBm}$ verstärkt (also $1000000\cdot \qty{1}{\milli\watt}$), was einer Leistung von $\qty{1000}{\watt}$ entspricht. + +Abbildung [ref:e_signalkette_2] zeigt ein weiteres Beispiel einer Signalkette, bei der zusätzlich ein Dämpfungsglied mit einer Dämpfung von $\qty{20}{\dB}$ eingesetzt wird, was einer negativen Verstärkung von $\qty{-20}{\dB}$ entspricht. Das Eingangssignal besitzt eine Leistung von $\qty{1}{\milli\watt}$, also $\qty{0}{\dBm}$. Durch die erste Verstärkerstufe wird das Signal auf $\qty{10}{\dBm}$ angehoben. Anschließend wird es durch das Dämpfungsglied auf $\qty{-10}{\dBm}$ abgeschwächt und schließlich durch die zweite Verstärkerstufe wieder auf $\qty{0}{\dBm}$ verstärkt, was wiederum $\qty{1}{\milli\watt}$ entspricht. + + +[picture:877:e_signalkette:Signalkette mit drei Verstärken] +[picture:1053:e_signalkette_2:Signalkette mit zwei Verstärken und einem Dämpfungsglied] + + + +Wieso ist es zulässig vom Pegel $\qty{9}{\dBm}$ eine Dämpfung von $\qty{3}{\dB}$ abzuziehen? Beide Werte haben doch unterschiedliche Maßeinheiten! Bei der Einheit Bel ($\unit{\bel}$) bzw. Dezibel ($\unit{\dB}$) handelt es sich um eine Hilfsmaßeinheit (auch Pseudoeinheit). +Im Prinzip könnte der Zahlenwert auch ohne die Einheit $\unit{\dB}$ geschrieben werden, aber mit dem Zusatz $\unit{\dB}$ wird deutlich, dass es um ein logarithmisches Verhältnis von zwei Größen geht. Ohne diese Einheit müsste man verbal beschreiben welche Bedeutung der Zahlenwert hat. + + +Zusätzlich haben wir in der Klasse E bereits die Zusätze $\unit{\dBd}$ und $\unit{\dBi}$ kennen gelernt, die bei der Angabe von Antennengewinnen verwendet werden. In diesem Fall bezieht sich der Dezibelwert nicht auf eine Leistung oder Spannung, sondern auf einen bestimmten Referenzstrahler. Üblich sind dabei $\unit{\dBi}$, bezogen auf den isotropen Kugelstrahler, sowie $\unit{\dBd}$, bezogen auf den Halbwellendipol. + +--- + +Neben den Leistungsverhältnissen können wir das Dezibel können auch verwenden, um *Spannungsverhältnisse* und *Spannungspegel* anzugeben. Dazu können wir die Formel $P = \frac{U^2}{R}$ verwenden. Also können wir schreiben: + +$\begin{split}g &= 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{P_1}{P_2}\right)\\ &= 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{\frac{U_1^2}{\cancel{R}}}{\frac{U_2^2}{\cancel{R}}}\right)\\ &= 10 \cdot \log_{10}\left(\left(\frac{U_1}{U_2}\right)^2\right) \end{split}$ *Rechnen mit Logarithmen:* Einige einfache Rechenregeln ermöglichen die Lösung von Dezibel-Aufgaben ohne Taschenrechner. -* Der Logarithmus eines Produkts zweier Zahlen entspricht der Summe der Logarithmen: $\log(a\cdot b) = \log(a)+ \log(b)$ -* Der Logarithmus einer Division zweier Zahlen entspricht der Differenz der Logarithmen: $\log(a / b) = \log(a) - \lg(b)$ -* Daraus abgeleitet: um den Logarithmus einer quadrierten Zahl zu bestimmen, multiplizieren wir den Logarithmus der Zahl mit dem Faktor 2. Um den Logarithus der Quadratwurzel einer Zahl zu bestimmen, multiplizieren wir den Logarithmus der Zahl mit dem Faktor $\frac{1}{2}$. +* Der Logarithmus eines Produkts zweier Zahlen entspricht der Summe der Logarithmen: $\log_{10}(a\cdot b) = \log_{10}(a)+ \log_{10}(b)$ +* Der Logarithmus einer Division zweier Zahlen entspricht der Differenz der Logarithmen: $\log_{10}(a / b) = \log_{10}(a) - \log_{10}(b)$ +* Der Logarithmus einer quadrierten Zahl: $\log_{10}(x^2)= 2 \cdot \log_{10}(x)$ +* Der Logarithmus einer Wurzel: $\log_{10}(\sqrt{x})= \frac{1}{2} \cdot \log_{10}(x)$ +Der Logarithmus einer quadrierten Zahl ist aber gleich zweimal dem Logarithmus der Zahl: + +$\lg(x^2)=2 \cdot \lg(x)$ + +Es folgt daraus: + +$\begin{split} g &= 10 \cdot \log_{10}\left(\left(\frac{U_1}{U_2}\right)^2\right)\\ &= 10 \cdot 2 \cdot \log_{10}\left(\frac{U_1}{U_2}\right) \\ &= 20 \cdot \log_{10}\left(\frac{U_1}{U_2}\right) \end{split}$ + +--- + +Daher berechnen wir ein Verhältnis *a* zweier Spannungen $U_1$ und $U_2$, indem wir den Logarithmus des Verhältnisses nicht mit dem Faktor 10, sondern mit dem Faktor 20 multiplizieren. Diese Formel finden wir auch in der Formelsammlung. + +[question:AA111] + + +Bei der Dezibel-Berechnung immer genau beachten, ob es sich um Leistungs- oder Spannungsverhältnisse handelt! + + +Zur Bestimmung von Spannungspegeln müssen wir wieder erst eine Bezugsspannung festlegen (vgl. Tabelle [ref:a_bezugsgroessen]). Bei Empfangssignalen messen wir die (sehr kleinen) Spannungen am Empfängereingang gern in $\unit{\micro\volt}$. Der zugehörige Spannungspegel hat dann die Einheit $\unit{\dBuV}$. Beispiel: + +$\qty{10}{\micro\volt} \rightarrow 20 \cdot \log\left(\frac{\qty{10}{\micro\volt}}{\qty{1}{\micro\volt}}\right)=\qty{20}{\dBuV}$ + +Bei der folgenden Frage ist der Bezugswert $\qty{1}{\micro\volt\per\meter}$. Versuche die Aufgabe mit deinem Wissen zu lösen. + +[question:AA112] + -*Nützlich zu merken:* +Auch hier kann man vieles im Kopf rechnen, denn die Formelsammlung gibt auch typische Werte für Spannungsverhältnisse an: -* $\qty{0}{\dB}$ entspricht dem Faktor $1$. -* $\qty{3}{\dB}$ entsprechen einem Leistungsverhältnis von $2$ -* $\qty{-3}{\dB}$ einem Leistungsverhältnis von $\frac{1}{2}$. -* $\qty{6}{\dB}$ entsprechen einem Leistungsverhältnis von $4$ und einem Spannungsverhälnis von $2$. -* $\qty{-6}{\dB}$ sind ein Leistungsverhältnis von $\frac{1}{4}$ und ein Spannungsverhältnis von $\frac{1}{2}$. -* $\qty{10}{\dB}$ entsprechen einem Leistungsverhältnis von $10$. -* $\qty{20}{\dB}$ entsprechen einem Leistungsverhältnis von $100$ und einem Spannungsverhältnis von $10$. - -Mit diesen wenigen Werten lassen sich Lösungen in der Regel zumindest hinreichend genau abschätzen. - -*Beispiele:* +| c:dB | c:≈ Spannungsverhältnis | +| $-20$ | $\num{0,1}$ | +| $-10$ | $\num{0,32}$ | +| $-6$ | $\num{0,5}$ | +| $-3$ | $\num{0,71}$ | +| $-1$ | $\num{0,89}$ | +| $0$ | $\num{1}$ | +| $1$ | $\num{1,12}$ | +| $3$ | $\num{1,14}$ | +| $6$ | $2$ | +| $10$ | $3,16$ | +| $20$ | $10$ | +[table:a_spannungsverhaeltnisse:Wichtige Spannungsverhältnisse in $\unit{\dB}$] -* Welcher Faktor entspricht einem Leistungsverhältnis von $\qty{17}{\dB}$? $\qty{17}{\dB} = \qty{20}{\dB} - \qty{3}{\dB}$, also Faktor $100$ durch $2$ gleich $50$. -* Wieviel $\unit{\dB}$ entspricht ein Spannungsverhältnis von 4? $4 = 2 \cdot 2 \rightarrow \qty{6}{\dB} + \qty{6}{\dB} = \qty{12}{\dB}$ - +*Beispiel:* -[question:AA105] -[question:AA106] -[question:AA107] -[question:AA108] -[question:AA109] -[question:AA110] -[question:AA111] -[question:AA112] \ No newline at end of file +* Wieviel $\unit{\dB}$ entspricht ein Spannungsverhältnis von $4$? $4 = 2 \cdot 2 \rightarrow \qty{6}{\dB} + \qty{6}{\dB} = \qty{12}{\dB}$ + \ No newline at end of file