From b2a2544a36e52bae8a9a34cac40e555367e9d38d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Matthias Jung Date: Sun, 2 Aug 2026 22:51:41 +0200 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?refactor:=20removed=20kapitel=20verst=C3=A4rkun?= =?UTF-8?q?gsleistung=20and=20moved=20questions=20to=20decibel=202?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- contents/sections/dezibel_2.md | 10 ++-- contents/sections/verstaerkungsleistung.md | 59 ---------------------- contents/slides/dezibel_2.md | 48 ++++++++++++++++++ contents/slides/verstaerkungsleistung.md | 40 --------------- contents/solutions/AD426.md | 13 +++++ contents/solutions/AD427.md | 11 ++++ contents/solutions/AD428.md | 11 ++++ toc/A.json | 7 --- toc/EA.json | 7 --- toc/NEA.json | 7 --- 10 files changed, 90 insertions(+), 123 deletions(-) delete mode 100644 contents/sections/verstaerkungsleistung.md delete mode 100644 contents/slides/verstaerkungsleistung.md create mode 100644 contents/solutions/AD426.md create mode 100644 contents/solutions/AD427.md create mode 100644 contents/solutions/AD428.md diff --git a/contents/sections/dezibel_2.md b/contents/sections/dezibel_2.md index 59093dc..300ac88 100644 --- a/contents/sections/dezibel_2.md +++ b/contents/sections/dezibel_2.md @@ -22,16 +22,19 @@ Die Formelsammlung gibt für das Umrechnen eines Leistungsverhältnisses in $\un $g = 10\cdot \log_{10}\left(\frac{P_2}{P_1}\right)\unit{\dB}$ +[question:AD428] + Möchte man aus einem $\unit{\dB}$-Wert einen Verhältnisfaktor ermitteln, so muss die Formel umgestellt werden: $\begin{align*} g &= 10 \cdot \log_{10}\left( x \right) \unit{\dB} & \quad\quad\quad &|: \qty{10}{\dB} \\ \frac{g}{\qty{10}{\dB}} &= \log_{10}\left( x \right) &~&| \quad 10^{x}\\ x &= 10^{\frac{g}{\qty{10}{\dB}}} &~&~\end{align*}$ -Mit diesen beiden Formeln können wir also leicht zwischen $\unit{\dB}$-Angaben und Verhältnisfaktoren umrechnen. Versuche nun die zwei folgenden Fragen zu berechnen: +Mit diesen beiden Formeln können wir also leicht zwischen $\unit{\dB}$-Angaben und Verhältnisfaktoren umrechnen. Versuche nun die drei folgenden Fragen zu berechnen: --- [question:AA105] [question:AA106] +[question:AD426] In der Klasse E haben wir bereits folgenden Trick kennengelernt: Ganz ohne Taschenrechner lassen sich Dezibelwerte abschätzen, die auf "$0$" enden: Einfach die letzte Null zuhalten, die Ziffer gibt dann die Anzahl der Nullen des Verhältnisfaktors an. Beispiel: $\qty{30}{\dB} \rightarrow 3 \rightarrow 3~\text{Nullen} \rightarrow \text{Verhältnisfaktor}~1000$! @@ -100,7 +103,7 @@ Zusätzlich haben wir in der Klasse E bereits die Zusätze $\unit{\dBd}$ und $\u Neben den Leistungsverhältnissen können wir das Dezibel können auch verwenden, um *Spannungsverhältnisse* und *Spannungspegel* anzugeben. Dazu können wir die Formel $P = \frac{U^2}{R}$ verwenden. Also können wir schreiben: -$\begin{split}g &= 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{P_1}{P_2}\right)\\ &= 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{\frac{U_1^2}{\cancel{R}}}{\frac{U_2^2}{\cancel{R}}}\right)\\ &= 10 \cdot \log_{10}\left(\left(\frac{U_1}{U_2}\right)^2\right) \end{split}$ +$\begin{split}g &= 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{P_1}{P_2}\right)\\ g &= 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{\frac{U_1^2}{\cancel{R}}}{\frac{U_2^2}{\cancel{R}}}\right)\\ g &= 10 \cdot \log_{10}\left(\left(\frac{U_1}{U_2}\right)^2\right) \end{split}$ *Rechnen mit Logarithmen:* @@ -118,13 +121,14 @@ $\log_{10}(x^2)=2 \cdot \log_{10}(x)$ Es folgt daraus: -$\begin{split} g &= 10 \cdot \log_{10}\left(\left(\frac{U_1}{U_2}\right)^2\right)\\ &= 10 \cdot 2 \cdot \log_{10}\left(\frac{U_1}{U_2}\right) \\ &= 20 \cdot \log_{10}\left(\frac{U_1}{U_2}\right) \end{split}$ +$\begin{split} g &= 10 \cdot \log_{10}\left(\left(\frac{U_1}{U_2}\right)^2\right)\\ g &= 10 \cdot 2 \cdot \log_{10}\left(\frac{U_1}{U_2}\right) \\ g &= 20 \cdot \log_{10}\left(\frac{U_1}{U_2}\right) \end{split}$ --- Daher berechnen wir ein Verhältnis *$a$* zweier Spannungen $U_1$ und $U_2$, indem wir den Logarithmus des Verhältnisses nicht mit dem Faktor $10$, sondern mit dem Faktor $20$ multiplizieren. Diese Formel finden wir auch in der Formelsammlung. [question:AA111] +[question:AD427] Bei der Dezibel-Berechnung immer genau beachten, ob es sich um Leistungs- oder Spannungsverhältnisse handelt! diff --git a/contents/sections/verstaerkungsleistung.md b/contents/sections/verstaerkungsleistung.md deleted file mode 100644 index 19815a6..0000000 --- a/contents/sections/verstaerkungsleistung.md +++ /dev/null @@ -1,59 +0,0 @@ -%TODO: Dieses Kapitel ist noch nicht abschließend bearbeitet und muss noch Überarbeitet werden!!! - -Der Verstärkungsfaktor vor Verstärkern wird meist in Dezibel ($\qty{\frac{1}{10}}{\bel}$) ausgedrückt. Dabei ist immer zu berücksichtigen, ob man die Spannungsverstärkung oder die Leistungsverstärkung eines Verstärkers betrachtet. -*Leistung und Spannung verhalten sich nämlich quadratisch zueinander* und müssen unterschiedlich berechnet werden! -Eine Verdoppelung der Spannung durch einen Verstärker entspricht einer Leistungsvervierfachung (bei gleicher Impedanz am Ein- und Ausgang des Verstärkers). - -Bei Betrachtung der Spannungsverstärkung eines Verstärkers können wir diese in Dezibel ($\unit{\dB}$) angeben. Hierzu müssen wir die beiden Spannungspegel im Quadrat (Ausgangspegel und Eingangspegel) zueinander ins Verhältnis setzen und dann den Zehner-Logarithmus ziehen. Wir erhalten dann das Ergebnis in Bel. Um dieses noch in Dezibel umzurechnen, muss es noch mit dem Faktor $10$ multipliziert werden. -Um direkt die Spannungspegel in der Berechnung verwenden zu können und diese vorher nicht quadrieren zu müssen, kann man das Quadrat als Faktor $2$ aus dem Zehner-Logarithmus herausziehen. -Daher muss das Ergebnis in diesem Fall noch mit dem Faktor $2$ multipliziert werden. Insgesamt also mit dem Faktor $10 \cdot 2 = 20$. - - -Kurzer Exkurs in die Lograrithmen-Rechnung - -Ein Quadrat innerhalb des Logarithmus kann aus dem Logarithmus "herausgezogen" werden. Hierbei wird aus dem Quadrat der Faktor $2$. Analog verhält es sich mit höheren Potenzen. Hierbei wird die Potenz immer zum Multiplikator vor dem Logarithmus, wenn man diese aus dem Logarithmus "herauszieht". - -Beispiel: $\log(x^2) = 2 \cdot \log(x)$ - - -%TODO: Tip mit Berechnung von Bel und Dezibel bei Spannungs und Leistungsverhältnissen mit Erklärung warum der Faktor $2$ noch vor den Logarithmus wandert (Quadrat aus Logarithmus wird zu Faktor $2$ bei rausziehen). - -Bei Betrachtung der Leistungsverstärkung eines Verstärkers können wir diese ebenfalls in Dezibel ($\unit{\dB}$) angeben. Hierzu müssen wir die beiden Leistungspegel (Ausgangspegel und Eingangspegel) zueinander ins Verhältnis setzen und dann den Zehner-Logarithmus ziehen. Anschließend muss das Ergebnis noch mit dem Faktor $10$ multipliziert werden, um die Leistungsverstärkung in $\unit{\dB}$ zu erhalten. - -Die entsprechenden Formeln zur Berechnung der Leistungsverstärkung und Spannungsverstärkung von Verstärkern findet man auch in der Formelsammlung. - -[question:AD427] -[question:AD428] - -Will man nun umgekehrt aus der Leistungsverstärkung in $\unit{\dB}$ das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung berechnen, so muss man zunächst den $\unit{\dB}$-Wert wieder in Bel umrechnen, indem man ihn zunächst durch den Faktor $10$ teilt. Diesen Wert muss man dann als 10er-Exponent berechnen. -Daraus ergibt sich der Verstärkungsfaktor, der mit der Eingangsleistung multipliziert werden muss, um die Ausgangsleistung eines Verstärkers zu erhalten. -Hierbei sollte man sich bestimmte Verhältnisse in $\unit{\dB}$ merken (siehe Formelsammlung!). Hierdurch kann die Berechnung deutlich vereinfacht werden. - -Beispiel: -Um eine Verstärkung von $\qty{13}{\dB}$ in den Verstärkungsfaktor umzurechnen, kann man sich merken, dass $\qty{3}{\dB}$ immer einer Leistungsverdoppelung entsprechen und $\qty{10}{\dB}$ einer Leistungsverzehnfachung. Man multipliziert in diesem Fall die Verstärkungen $2$ und $10$ miteinander und erhält für $\qty{13}{\dB}$ den Verstärkungsfaktor $20$. - - -Man kann sich bei Rechnung mit $\unit{\dB}$-Werten merken, dass eine Addition von einzelnen (bekannten) $\unit{\dB}$-Werten immer einer Multiplikation der entsprechenden Verstärkungsfaktoren entspricht. - -Beispiel: - -$\qty{3}{\dB}$ = Faktor $2$ für Leistung und Faktor $\sqrt{2}$ für Spannung - -$\qty{6}{\dB}$ = Faktor $4$ für Leistung und Faktor $\sqrt{4}$ für Spannung - -$\qty{10}{\dB}$ = Faktor $10$ für Leistung und Faktor $\sqrt{10}$ für Spannung - -$\qty{20}{\dB}$ = Faktor $100$ für Leistung und Faktor $\sqrt{100}$ für Spannung - -$\qty{26}{\dB}$ für Leistung = $\qty{20}{\dB}$ + $\qty{6}{\dB}$ = Faktor $100 \times$ Faktor $4 =$ Faktor $400$ - -Damit entspricht eine Leistungsverstärkung von $\qty{26}{\dB}$ einem Leistungsverstärkungsfaktor von $400$. - -Die entsprechende Spannungsverstärkung errechnet sich zu: - -Faktor $10 \times$ Faktor $2 =$ Faktor $20$ - -Alternativ: $\sqrt{400}$, wenn man den Leistungsverstärkungsfaktor zugrunde legt. - - -[question:AD426] \ No newline at end of file diff --git a/contents/slides/dezibel_2.md b/contents/slides/dezibel_2.md index ec61306..620f29d 100644 --- a/contents/slides/dezibel_2.md +++ b/contents/slides/dezibel_2.md @@ -31,6 +31,18 @@ $p = 10\cdot \log_{10}\left(\frac{P}{\qty{1}{\watt}}\right)\unit{\dBW}$ $\rightarrow\qty{0}{\dBW}$ liegt bei $P = \qty{1}{\watt}$ vor +--- +[question:AD428] +--- +#### Lösungsweg +* gegeben: $P_1 = \qty{38}{\watt}$ +* gegeben: $P_2 = \qty{2,5}{\watt}$ +* gesucht: $g$ + + +$\begin{split} g &= \qty{10\cdot \log_{10}{\left(\frac{P_2}{P_1}\right)}}{\dB}\\ &= \qty{10\cdot \log_{10}{\left(\frac{\qty{38}{\watt}}{\qty{2,5}{\watt}}\right)}}{\dB} = \qty{11,8}{\dB} \end{split}$ + + --- [question:AA110] @@ -63,11 +75,32 @@ $\rightarrow\qty{0}{\dBuV}$ liegt bei $U = \qty{1}{\micro\volt}$ vor Details zur Berechnung des Faktor 20 sind im Online-Kurs. Kurzfassung: Im Spannungsverhältnis wird mit Quadraten gerechnet, was als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden kann. + --- + +[question:AD427] + +--- + +#### Lösungsweg +* gegeben: $U_1 = \qty{1}{\milli\volt}$ +* gegeben: $U_2 = \qty{4}{\milli\volt}$ +* gesucht: $g$ + + +$\begin{split} g &= \qty{20\cdot \log_{10}{\left(\frac{U_2}{U_1}\right)}}{\dB}\\ &= \qty{20\cdot \log_{10}{\left(\frac{\qty{4}{\milli\volt}}{\qty{1}{\milli\volt}}\right)}}{\dB} = \qty{12}{\dB} \end{split}$ + + +--- + [question:AA111] + --- + [question:AA108] + --- + ### Lösungsweg * gegeben: $p = \qty{20}{\dBW}$ * gesucht: $P$ @@ -96,6 +129,21 @@ $\qty{1000}{\milli\watt} \cdot 10 = \qty{10000}{\milli\watt} = \qty{40}{\dBm}$ Aus der Tabelle in der Formelsammlung +--- +[question:AD426] +--- +#### Lösungsweg +* gegeben: $g = \qty{16}{\dB}$ +* gegeben: $P_1 = \qty{1}{\watt}$ +* gesucht: $P_2$ + + +$g = \qty{16}{\dB} = \qty{10}{\dB} + \qty{6}{\dB} = 10 \cdot 4 = 40$ + + +$P_2 = P_1 \cdot g = \qty{1}{\watt} \cdot 40 = \qty{40}{\watt}$ + + --- [question:AA112] --- diff --git a/contents/slides/verstaerkungsleistung.md b/contents/slides/verstaerkungsleistung.md deleted file mode 100644 index c98d380..0000000 --- a/contents/slides/verstaerkungsleistung.md +++ /dev/null @@ -1,40 +0,0 @@ -* Wird meistens in Dezibel ausgedrückt -* Leistungs- oder Spannungsverstärkung benötigt unterschiedliche Rechnung -* Alle Rechnungen lassen sich mit den Formeln zu Leistungs- und Spannungspegel durchführen - ---- -[question:AD427] ---- -#### Lösungsweg -* gegeben: $U_1 = \qty{1}{\milli\volt}$ -* gegeben: $U_2 = \qty{4}{\milli\volt}$ -* gesucht: $g$ - - -$\begin{split} g &= \qty{20\cdot \log_{10}{\left(\frac{U_2}{U_1}\right)}}{\dB}\\ &= \qty{20\cdot \log_{10}{\left(\frac{\qty{4}{\milli\volt}}{\qty{1}{\milli\volt}}\right)}}{\dB} = \qty{12}{\dB} \end{split}$ - ---- -[question:AD428] ---- -#### Lösungsweg -* gegeben: $P_1 = \qty{38}{\watt}$ -* gegeben: $P_2 = \qty{2,5}{\watt}$ -* gesucht: $g$ - - -$\begin{split} g &= \qty{10\cdot \log_{10}{\left(\frac{P_2}{P_1}\right)}}{\dB}\\ &= \qty{10\cdot \log_{10}{\left(\frac{\qty{38}{\watt}}{\qty{2,5}{\watt}}\right)}}{\dB} = \qty{11,8}{\dB} \end{split}$ - ---- -[question:AD426] ---- -#### Lösungsweg -* gegeben: $g = \qty{16}{\dB}$ -* gegeben: $P_1 = \qty{1}{\watt}$ -* gesucht: $P_2$ - - -$g = \qty{16}{\dB} = \qty{10}{\dB} + \qty{6}{\dB} = 10 \cdot 4 = 40$ - - -$P_2 = P_1 \cdot g = \qty{1}{\watt} \cdot 40 = \qty{40}{\watt}$ - \ No newline at end of file diff --git a/contents/solutions/AD426.md b/contents/solutions/AD426.md new file mode 100644 index 0000000..7f9a16e --- /dev/null +++ b/contents/solutions/AD426.md @@ -0,0 +1,13 @@ +Gegeben sind die Leistungsverstärkung $g=\qty{16}{\dB}$ und die Eingangsleistung $P_1=\qty{1}{\watt}$. Für das Leistungsverhältnis gilt: + +$g=10\cdot\log_{10}\left(\frac{P_2}{P_1}\right)$ + +Nach der Ausgangsleistung $P_2$ umgestellt: + +$P_2=P_1\cdot 10^{\frac{g}{10}}$ + +Einsetzen der Werte ergibt: + +$P_2=\qty{1}{\watt}\cdot 10^{\frac{16}{10}}=\qty{1}{\watt}\cdot 10^{1,6}\approx\qty{39,8}{\watt}$ + +Die erwartete HF-Ausgangsleistung beträgt somit ungefähr $\qty{40}{\watt}$. \ No newline at end of file diff --git a/contents/solutions/AD427.md b/contents/solutions/AD427.md new file mode 100644 index 0000000..92d74d5 --- /dev/null +++ b/contents/solutions/AD427.md @@ -0,0 +1,11 @@ +Da Eingangs- und Ausgangswiderstand gleich sind, kann die Spannungsverstärkung direkt aus dem Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsspannung berechnet werden: + +$g = 20 \cdot \log_{10}\left(\frac{U_\mathrm{A}}{U_\mathrm{E}}\right)$ + +Einsetzen der gegebenen Spannungen: + +$g = 20 \cdot \log_{10}\left(\frac{\qty{4}{\milli\volt}}{\qty{1}{\milli\volt}}\right) = 20 \cdot \log_{10}(4)$ + +$g \approx 20 \cdot \num{0,602} \approx \qty{12}{\dB}$ + +Die Spannungsverstärkung des Verstärkers beträgt somit ungefähr $\qty{12}{\dB}$. \ No newline at end of file diff --git a/contents/solutions/AD428.md b/contents/solutions/AD428.md new file mode 100644 index 0000000..ae052f2 --- /dev/null +++ b/contents/solutions/AD428.md @@ -0,0 +1,11 @@ +Gegeben sind die Eingangsleistung $P_1=\qty{2,5}{\watt}$ und die Ausgangsleistung $P_2=\qty{38}{\watt}$. Für die Leistungsverstärkung gilt: + +$g=10\cdot\log_{10}\left(\frac{P_2}{P_1}\right)$ + +Einsetzen der Werte ergibt: + +$g=10\cdot\log_{10}\left(\frac{\qty{38}{\watt}}{\qty{2,5}{\watt}}\right)=10\cdot\log_{10}(15,2)$ + +$g\approx 10\cdot 1,182=\qty{11,8}{\dB}$ + +Der Leistungsverstärker verstärkt die Eingangsleistung somit um den Faktor $15,2$. Dies entspricht einer Leistungsverstärkung von $\qty{11,8}{\dB}$. \ No newline at end of file diff --git a/toc/A.json b/toc/A.json index ec4295e..b1ceede 100644 --- a/toc/A.json +++ b/toc/A.json @@ -426,13 +426,6 @@ "class": "A", "video_url": null }, - { - "title": "Verstärkungsleistung", - "ident": "verstaerkungsleistung", - "status": "alpha", - "class": "A", - "video_url": null - }, { "title": "Wirkungsgrad", "ident": "verstaerker_wirkungsgrad", diff --git a/toc/EA.json b/toc/EA.json index 487ad7a..ec9bdfd 100644 --- a/toc/EA.json +++ b/toc/EA.json @@ -771,13 +771,6 @@ "class": "A", "video_url": null }, - { - "title": "Verstärkungsleistung", - "ident": "verstaerkungsleistung", - "status": "alpha", - "class": "A", - "video_url": null - }, { "title": "Wirkungsgrad", "ident": "verstaerker_wirkungsgrad", diff --git a/toc/NEA.json b/toc/NEA.json index 47daa08..214ec34 100644 --- a/toc/NEA.json +++ b/toc/NEA.json @@ -1222,13 +1222,6 @@ "class": "A", "video_url": null }, - { - "title": "Verstärkungsleistung", - "ident": "verstaerkungsleistung", - "status": "alpha", - "class": "A", - "video_url": null - }, { "title": "Wirkungsgrad", "ident": "verstaerker_wirkungsgrad",