refactor: frequenzmessung und genauigkeit

contents/drawings/1126.tex

@@ -21,7 +21,8 @@
             clip=false,
         ]
 
-        % Input signal: f = 1 kHz, one period corresponds to 1 ms
+        % Input signal: f = 1.1 kHz
+        % 2*pi on the x-axis corresponds to 1 ms
         \addplot[
             smooth,
             mark=none,
@@ -30,37 +31,37 @@
             domain=0:24*pi,
             samples=1800
         ]
-        {0.8*sin(deg(x))};
+        {0.8*sin(deg(1.1*x))};
 
-        % Gate boundaries
+        % Gate boundaries: T_G = 1 ms
         \draw[dashed, thick]
-            (axis cs:8.7*pi,-1.0)
+            (axis cs:8.5*pi,-1.0)
-            -- (axis cs:8.7*pi,1.15);
+            -- (axis cs:8.5*pi,1.15);
 
         \draw[dashed, thick]
-            (axis cs:13.3*pi,-1.0)
+            (axis cs:10.5*pi,-1.0)
-            -- (axis cs:13.3*pi,1.15);
+            -- (axis cs:10.5*pi,1.15);
 
         % Gate-time arrow
         \draw[Triangle-Triangle, thick]
-            (axis cs:8.7*pi,1.18)
+            (axis cs:8.5*pi,1.18)
-            -- node[above] {kurze Torzeit $T_\mathrm{G}=\qty{2,3}{\milli\second}$}
+            -- node[above] {kurze Torzeit $T_\mathrm{G}=\qty{1}{\milli\second}$}
-            (axis cs:13.3*pi,1.18);
+            (axis cs:10.5*pi,1.18);
 
-        % Counted positive zero crossings
+        % Counted positive zero crossing
-        \foreach \x in {10,12}{
+        \foreach \k in {5}{
             \addplot[
                 only marks,
                 mark=*,
                 mark size=1.8pt,
                 DARCblue
             ]
-            coordinates {({\x*pi},0)};
+            coordinates {({20/11*\k*pi},0)};
         }
 
         \node[anchor=north]
-            at (axis cs:11*pi,-1.0)
+            at (axis cs:9.5*pi,-1.0)
-            {$N=2 \quad\Rightarrow\quad f_\mathrm{M}=\dfrac{N}{T_\mathrm{G}}\approx\qty{870}{\hertz}$};
+            {$N=1 \quad\Rightarrow\quad f_\mathrm{M}=\dfrac{N}{T_\mathrm{G}}=\qty{1}{\kilo\hertz}$};
 
         \end{axis}
     \end{scope}
@@ -87,7 +88,8 @@
             clip=false,
         ]
 
-        % Input signal: f = 1 kHz, one period corresponds to 1 ms
+        % Input signal: f = 1.1 kHz
+        % 2*pi on the x-axis corresponds to 1 ms
         \addplot[
             smooth,
             mark=none,
@@ -96,37 +98,38 @@
             domain=0:24*pi,
             samples=1800
         ]
-        {0.8*sin(deg(x))};
+        {0.8*sin(deg(1.1*x))};
 
-        % Gate boundaries
+        % Gate boundaries: T_G = 10 ms
         \draw[dashed, thick]
-            (axis cs:0.7*pi,-1.0)
+            (axis cs:1*pi,-1.0)
-            -- (axis cs:0.7*pi,1.15);
+            -- (axis cs:1*pi,1.15);
 
         \draw[dashed, thick]
-            (axis cs:21.3*pi,-1.0)
+            (axis cs:21*pi,-1.0)
-            -- (axis cs:21.3*pi,1.15);
+            -- (axis cs:21*pi,1.15);
 
         % Gate-time arrow
         \draw[Triangle-Triangle, thick]
-            (axis cs:0.7*pi,1.18)
+            (axis cs:1*pi,1.18)
-            -- node[above] {lange Torzeit $T_\mathrm{G}=\qty{10,3}{\milli\second}$}
+            -- node[above] {lange Torzeit $T_\mathrm{G}=\qty{10}{\milli\second}$}
-            (axis cs:21.3*pi,1.18);
+            (axis cs:21*pi,1.18);
 
         % Counted positive zero crossings
-        \foreach \x in {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}{
+        \foreach \k in {1,...,11}{
             \addplot[
                 only marks,
                 mark=*,
                 mark size=1.8pt,
                 DARCblue
             ]
-            coordinates {({\x*pi},0)};
+            coordinates {({20/11*\k*pi},0)};
         }
 
         \node[anchor=north]
             at (axis cs:11*pi,-1.0)
-            {$N=10 \quad\Rightarrow\quad f_\mathrm{M}=\dfrac{N}{T_\mathrm{G}}\approx\qty{971}{\hertz}$};
+            {$N=11 \quad\Rightarrow\quad f_\mathrm{M}=\dfrac{N}{T_\mathrm{G}}=\qty{1,1}{\kilo\hertz}$};
+
         \end{axis}
     \end{scope}
 \end{tikzpicture}

contents/sections/frequenzgenauigkeit.md

@@ -1,5 +1,22 @@
-Die Genauigkeit von Frequenzen und Messbereichen bei Sendern, Empfängern, Oszillatoren, Frequenzzählern usw. wird entweder in $\unit{\percent}$ ($1 \cdot \num{10^{-2}}$) oder in parts per million ($\unit{\ppm} = 1 \cdot \num{10^{-6}}$) angegeben. Manchmal erfolgt die Angabe auch direkt in Exponentialschreibweise wie z.B. Genauigkeit von $1 \cdot \num{10^{-7}}$.
+Die *Frequenzgenauigkeit* gibt an, wie stark eine erzeugte, eingestellte oder gemessene Frequenz von ihrem tatsächlichen Wert abweichen kann. Sie wird häufig in Prozent ($\unit{\percent}$), in *parts per million* ($\unit{\ppm}$) oder direkt als relative Abweichung angegeben.
-Mit dieser Genauigkeit ist die Frequenz zu multiplizieren um die mögliche Abweichung von Messwerten oder Anzeigen zu berechnen.
+
+Dabei gilt:
+
+$\qty{1}{\percent} = 1 \cdot 10^{-2}$
+
+und
+
+$\qty{1}{\ppm} = 1 \cdot 10^{-6}$
+
+Bei einem Frequenzzähler hängt die erreichbare Genauigkeit wesentlich von seiner *Zeitbasis* ab. Der Frequenzzähler bestimmt die Frequenz des Eingangssignals mithilfe einer internen Referenzfrequenz. Weicht diese Referenz von ihrem Sollwert ab, wirkt sich diese Abweichung entsprechend auf das Messergebnis aus.
+
+Als Zeitbasis werden deshalb möglichst stabile Oszillatoren eingesetzt. Hochwertige Frequenzzähler verwenden beispielsweise einen TCXO oder OCXO. Für besonders genaue Messungen kann häufig auch eine externe Frequenzreferenz angeschlossen werden, beispielsweise ein GPS-disziplinierter Oszillator (GPSDO).
+
+Ist die relative Frequenzgenauigkeit bekannt, kann daraus die maximal zu erwartende Frequenzabweichung berechnet werden:
+
+$\Delta f = f \cdot a$
+
+Dabei ist $f$ die betrachtete Frequenz und $a$ die relative Frequenzgenauigkeit.
 
 <indepth>
   Hinweis bzgl. Umrechnung/Darstellung von 10er Potenzen:
@@ -20,8 +37,6 @@ Mit dieser Genauigkeit ist die Frequenz zu multiplizieren um die mögliche Abwei
 
 [question:AI510]
 
-%TODO - Evtl. sollte hier eine Grafik zur Veranschaulichung mit eingebunden werden für die Aufgabe 1823
-
 [question:AI506]
 
 [question:AI507]

contents/sections/frequenzmessung_2.md

@@ -28,18 +28,22 @@ Eine Frequenz kann auch mit einem Oszilloskop bestimmt werden. Für genaue Frequ
 
 ---
 
-Einfache Frequenzzähler arbeiten häufig mit einer sogenannten *Torzeit*. Während dieser Zeit zählt das Gerät die Perioden beziehungsweise Flanken oder Nulldruchgänge des Eingangssignals. Aus der Anzahl der gezählten Schwingungen und der bekannten Torzeit wird anschließend die Frequenz berechnet.
+Einfache Frequenzzähler arbeiten häufig mit einer sogenannten *Torzeit*. Während dieser Zeit zählt das Gerät die Perioden beziehungsweise Flanken oder Nulldruchgänge des Eingangssignals. Aus der Anzahl der gezählten Schwingungen und der bekannten Torzeit wird anschließend die Frequenz berechnet. Beispiel: Bei einer Torzeit von einer Sekunde ist die Frequenzbestimmung besonders einfach: Werden beispielsweise $\num{1000}$ Perioden gezählt, beträgt die gemessene Frequenz $\qty{1000}{\hertz}$.
 
 <margin>
-[picture:1126:a_frequenzmessung_torzeit:Zählung eines Signals mit einer Frequenz von $\qty{1}{\kilo\hertz}$ während sehr kleinen Torzeiten]
+[picture:1126:a_frequenzmessung_torzeit:Zählung eines Signals mit einer Frequenz von $\qty{1,1}{\kilo\hertz}$ während sehr kleinen Torzeiten]
 </margin>
 
-Bei einer Torzeit von einer Sekunde ist die Frequenzbestimmung besonders einfach: Werden beispielsweise $\num{1000}$ Perioden gezählt, beträgt die gemessene Frequenz $\qty{1000}{\hertz}$.
+Die *Frequenzauflösung* $\Delta f$ gibt an, wie klein der Frequenzunterschied zwischen zwei Messwerten sein kann, den der Frequenzzähler noch unterscheiden beziehungsweise anzeigen kann. Bei einem einfachen direkt zählenden Frequenzzähler wird die Frequenzauflösung durch die Torzeit $T_\mathrm{G}$ bestimmt:
 
-Welche Auswirkung die Torzeit auf das Messergebnis hat, zeigt die Abbildung [ref:a_frequenzmessung_torzeit]. In beiden Fällen wird dasselbe Signal mit einer tatsächlichen Frequenz von $\qty{1}{\kilo\hertz}$ gemessen. Bei der kurzen Torzeit werden jedoch nur wenige Perioden gezählt. Dadurch fällt bereits eine nicht vollständig erfasste Periode stark ins Gewicht und die gemessene Frequenz weicht deutlich vom tatsächlichen Wert ab.
+$\Delta f = \frac{1}{T_\mathrm{G}}$
 
-Bei einer längeren Torzeit werden wesentlich mehr Perioden erfasst. Ein Zählfehler von etwa einer Periode hat dann relativ zur Gesamtzahl der gezählten Perioden einen deutlich geringeren Einfluss. Das Messergebnis liegt daher näher an der tatsächlichen Frequenz und die Auflösung der Frequenzmessung verbessert sich.
+Welche Auswirkung die Torzeit beziehungsweise die Frequenzauflösung auf das Messergebnis hat, zeigt die Abbildung [ref:a_frequenzmessung_torzeit]. In beiden Fällen wird dasselbe Signal mit einer tatsächlichen Frequenz von $\qty{1,1}{\kilo\hertz}$ gemessen.
 
-Eine kurze Torzeit hat dafür den Vorteil, dass die Anzeige häufiger aktualisiert werden kann. Bei der Wahl der Torzeit besteht somit ein Kompromiss zwischen schneller Aktualisierung und hoher Frequenzauflösung.
+Bei einer Torzeit von nur $\qty{1}{\milli\second}$ wird lediglich eine Periode gezählt. Der Frequenzzähler ermittelt daraus einen Messwert von $\qty{1}{\kilo\hertz}$. Die kurze Torzeit erlaubt hier also nur eine Frequenzauflösung von $\qty{1}{\kilo\hertz}$.
+
+Wird die Torzeit auf $\qty{10}{\milli\second}$ verlängert, können bereits $\num{11}$ Perioden gezählt werden. Daraus ergibt sich ein Messwert von $\qty{1,1}{\kilo\hertz}$. Die Frequenzauflösung beträgt nun $\qty{100}{\hertz}$, sodass auch die zusätzliche Stelle der Frequenz angezeigt werden kann.
+
+Je länger die Torzeit ist, desto mehr Perioden werden gezählt und desto feiner wird die Frequenzauflösung. Eine kurze Torzeit hat dagegen den Vorteil, dass die Anzeige häufiger aktualisiert werden kann. Bei der Wahl der Torzeit besteht somit ein Kompromiss zwischen schneller Aktualisierung und hoher Frequenzauflösung. Die Genauigkeit der Frequenzmessung ist von der Auflösung zu unterscheiden. Sie hängt insbesondere von der Genauigkeit der Zeitbasis des Frequenzzählers ab.
 
 [question:AI505]