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Grenzfrequenz

Bei Hoch- und Tiefpässen gilt für die Grenzfrequenz

Bei RL-Gliedern $R = X_\text{L}$ $f_\text{g} = \frac{R}{2 \pi \cdot L}$ Bei RC-Gliedern $R = X_\text{C}$ $f_\text{g} = \frac{1}{2 \pi \cdot R \cdot C}$

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[question:AD201]

Lösungsweg

• gegeben: R = \qty{4,7}{\kilo\ohm}
• gegeben: C = \qty{2,2}{\nano\farad}
• gesucht: f_\text{g}

$f_\text{g} = \frac{1}{2 \pi \cdot R \cdot C} = \frac{1}{2 \pi \cdot \qty{4,7}{\kilo\ohm} \cdot \qty{2,2}{\nano\farad}} \approx \qty{15,4}{\kilo\hertz}$ --- [question:AD202] --- #### Lösungsweg * gegeben: $R = \qty{10}{\kilo\ohm}$ * gegeben: $C = \qty{47}{\nano\farad}$ * gesucht: $f_\text{g}$ $f_\text{g} = \frac{1}{2 \pi \cdot R \cdot C} = \frac{1}{2 \pi \cdot \qty{10}{\kilo\ohm} \cdot \qty{47}{\nano\farad}} \approx \qty{339}{\hertz}$ --- [question:AD203] --- #### Lösungsweg * gegeben: $R_1 = \qty{4,7}{\kilo\ohm}$ * gegeben: $C_1 = \qty{6,8}{\nano\farad}$ * gesucht: $f_\text{g}$ $C_2$ und alle weiteren Angaben sind für den Tiefpass uninteressant. $f_\text{g} = \frac{1}{2 \pi \cdot R_1 \cdot C_1} = \frac{1}{2 \pi \cdot \qty{4,7}{\kilo\ohm} \cdot \qty{6,8}{\nano\farad}} \approx \qty{5}{\kilo\hertz}$ --- ## Resonanzfrequenz

• Parallel- oder Reihenschaltung von Spule und Kondensator \rightarrow Schwingkreis
• Hohe Frequenzen \rightarrow hoher Widerstand an Spule
• Niedrige Frequenzen \rightarrow hoher Widerstand an Kondensator
• Es gibt eine Frequenz, bei der Spule und Kondensator den gleichen Widerstand haben \rightarrow Resonanzfrequenz

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[question:AD206] --- style="font-size: smaller;"

Parallelschwingkreis

[picture:233:a_schwingkreis_parallelschwingkreis:Parallelschwingkreis und Darstellung der Impedanz gegenüber der Frequenz]

• Ideale Bauelemente laden sich ständig um
• Theoretisch ist die Impedanz bei Resonanzfrequenz unendlich hoch
• Praktisch bestimmt das Bauteil mit dem geringsten Widerstand die Gesamtimpedanz
• Bei Frequenzen über und unter der Resonanzfrequenz hat der Parallelschwingkreis eine geringere Impedanz

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Reihenschwingkreis

[picture:230:a_schwingkreis_reihenschwingkreis:Reihenschwingkreis und Darstellung der Impedanz gegenüber der Frequenz]

• Oder Serienschwingkreis
• Theoretisch ist die Impedanz bei Resonanzfrequenz \qty{0}{\ohm}
• Praktisch wird die Impedanz durch den ohmschen Widerstand bestimmt
• Bei Frequenzen über und unter der Resonanzfrequenz hat der Reihenschwingkreis eine höhere Impedanz

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[question:AD207]

[question:AD204]

Resonanzfall

Für Parallel- und Reihenschwingkreis:

X_\text{C} = X_\text{L}

Impedanzen sind gleich groß.

Resonanzfrequenz mit Thomsonsche Schwingkreisformel:

f_0 = \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}

William Thomson, später Lord Kelvin, in 1853 ---

[question:AD208]

Lösungsweg

• gegeben: L = \qty{1,2}{\micro\henry}
• gegeben: C = \qty{6,8}{\pico\farad}
• gegeben: R = \qty{10}{\ohm}
• gesucht: f_0

$\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{\qty{1,2}{\micro\henry} \cdot \qty{6,8}{\pico\farad}}} \approx \qty{55,7}{\mega\hertz} \end{split}$ Widerstand $R$ wird zur Berechnung nicht benötigt. --- [question:AD209] --- #### Lösungsweg * gegeben: $L = \qty{10}{\micro\henry}$ * gegeben: $C = \qty{1}{\nano\farad}$ * gesucht: $f_0$ $\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{\qty{10}{\micro\henry} \cdot \qty{1}{\nano\farad}}} \approx \qty{1,592}{\mega\hertz} \end{split}$ --- [question:AD210] --- #### Lösungsweg * gegeben: $L = \qty{100}{\micro\henry}$ * gegeben: $C = \qty{0,01}{\micro\farad}$ * gesucht: $f_0$ $\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{\qty{100}{\micro\henry} \cdot \qty{0,01}{\micro\farad}}} \approx \qty{159}{\kilo\hertz} \end{split}$ --- [question:AD211] --- #### Lösungsweg * gegeben: $L = \qty{2,2}{\micro\henry}$ * gegeben: $C = \qty{56}{\pico\farad}$ * gesucht: $f_0$ $\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{\qty{2,2}{\micro\henry} \cdot \qty{56}{\pico\farad}}} \approx \qty{14,34}{\mega\hertz} \end{split}$ --- [question:AD212] --- style="font-size: 0.7em;" #### Lösungsweg * gegeben: $C_1 = \qty{0,1}{\nano\farad}$ * gegeben: $C_2 = \qty{1,5}{\nano\farad}$ * gegeben: $C_3 = \qty{220}{\pico\farad}$ * gegeben: $L = \qty{1,2}{\milli\henry}$ * gesucht: $f_0$ $C = C_1 + C_2 + C_3 = \qty{0,1}{\nano\farad} + \qty{1,5}{\nano\farad} + \qty{220}{\pico\farad} = \qty{1,82}{\nano\farad}$ $\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{\qty{1,2}{\milli\henry} \cdot \qty{1,82}{\nano\farad}}} \approx \qty{107,7}{\kilo\hertz} \end{split}$ --- ### Verändern der Resonanzfrequenz

• Größere Spule oder Kondensator \rightarrow kleinere Resonanzfrequenz
• Kleinere Spule oder Kondensator \rightarrow größere Resonanzfrequenz

Induktivität vergrößern * Vergrößern der Windungszahl * Zusammenschieben * Einführen eines Ferritkerns

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[question:AD213]

[question:AD214]

[question:AD215]

[question:AD216]

[question:AD217]

Spannungsgesteuerter Schwingkreis

[picture:752:a_schwingkreis_potentiometer:Veränderung der Kapazität durch einen Varicap]

• Varicap wird durch eine Steuerspannung am Widerstandsspannungsteiler verändert
• Kleinere Spannung am Varicap \rightarrow kleinere Grenzschicht im Varicap \rightarrow größere Kapazität
• In Reihe geschaltete Kondensatoren \rightarrow Kapazität wird kleiner \rightarrow Resonanzfrequenz steigt

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[question:AD218] --- style="font-size: smaller;"

Bandpassfilter

[picture:785:a_schwingkreis_bandpass:Bandpassfilter aus mehreren Schwingkreisen]

• Kombination aus Parallel- und Reihenschwingkreisen
• Lässt einen bestimmten Frequenzbereich passieren
• Parallelschwingkreise wie hochohmige Widerstände
• Reihenschwingkreis wie niederohmiger Widerstand

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[question:AD205]

Bandbreite

• Große Abhängigkeit vom ohmschen Widerstand
• In Angabe von dB auf einen Referenzwert des Filters
• Z.B. Bandbreite bei $\qty{-3}{\dB}$-Wert
• Halbe Leistung eines Signals kann noch das Filter passieren
• Oder die $\num{0,7}$-fache Signalspannung

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[question:AD219]

[question:AD220]

Übliche Bandbreiten

• Schmalbandig mit \qty{500}{\hertz} für Telegrafie (CW)
• Breitbandig mit \qty{2,7}{\kilo\hertz} für Sprachmodulation (SSB)

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[question:AD221]

[question:AD222]

Güte eines Schwingkreises

• Auch Q-Faktor
• Kennzeichen für Energieverlust
• Verhältnis der Blindwiderstände zum ohmschen Widerstand im Resonanzfall (X_\text{L} = X_\text{C})

Reihenschwingkreis $Q = \frac{f_0}{B} = \frac{X_\text{L}}{R_\text{S}}$ Parallelschwingkreis $Q = \frac{f_0}{B} = \frac{R_\text{P}}{X_\text{L}}$

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[question:AD225] --- style="font-size: 0.7em;"

Lösungsweg

* gegeben: $L = \qty{100}{\micro\henry}$ * gegeben: $C = \qty{0,01}{\micro\farad}$ * gegeben: $R_\text{S} = \qty{10}{\ohm}$ * gesucht: $Q$ Zuerst $f_0$ ausrechnen $\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{\qty{100}{\micro\henry} \cdot \qty{0,01}{\micro\farad}}} \approx \qty{159,2}{\kilo\hertz} \end{split}$ Dann $B$ oder $X_\text{L}$ ausrechnen $\begin{split} X_\text{L} &= \omega \cdot L = 2 \pi \cdot f_0 \cdot L\\ &= 2 \pi \cdot \qty{159,2}{\kilo\hertz} \cdot \qty{100}{\micro\henry} \approx \qty{100,03}{\ohm} \end{split}$ $Q = \frac{X_\text{L}}{R_\text{S}} = \frac{\qty{100,03}{\ohm}}{\qty{10}{\ohm}} \approx 10$ --- [question:AD226] --- style="font-size: 0.7em;" #### Lösungsweg * gegeben: $L = \qty{2,2}{\micro\henry}$ * gegeben: $C = \qty{56}{\pico\farad}$ * gegeben: $R_\text{P} = \qty{1}{\kilo\ohm}$ * gesucht: $Q$ Zuerst $f_0$ ausrechnen $\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{\qty{2,2}{\micro\henry} \cdot \qty{56}{\pico\farad}}} \approx \qty{14,34}{\mega\hertz} \end{split}$ Dann $B$ oder $X_\text{L}$ ausrechnen $\begin{split} X_\text{L} &= \omega \cdot L = 2 \pi \cdot f_0 \cdot L\\ &= 2 \pi \cdot \qty{14,34}{\mega\hertz} \cdot \qty{2,2}{\micro\henry} \approx \qty{198,2}{\ohm} \end{split}$ $Q = \frac{R_\text{P}}{X_\text{L}} = \frac{\qty{1}{\kilo\ohm}}{\qty{198,2}{\ohm}} \approx 5$ --- ### Bandbreite berechnen

Über Resonanzfrequenz und Güte

Q = \frac{f_0}{B} \Rightarrow B = \frac{f_0}{Q}

Oder eingesetzt mit der Thomsonschen Schwingkreisformel Reihenschwingkreis $B = \frac{R_\text{S}}{2 \pi \cdot L}$ Parallelschwingkreis $B = \frac{1}{2 \pi \cdot R_\text{P} \cdot C}$ Herleitung nicht gezeigt

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[question:AD224]

Lösungsweg

• gegeben: L = \qty{2,2}{\micro\henry}
• gegeben: C = \qty{56}{\pico\farad}
• gegeben: R_\text{P} = \qty{1}{\kilo\ohm}
• gesucht: B

$\begin{split} B &= \frac{1}{2 \pi \cdot R_\text{P} \cdot C}\\ &= \frac{1}{2 \pi \cdot \qty{1}{\kilo\ohm} \cdot \qty{56}{\pico\farad}} \approx \qty{2,84}{\mega\hertz} \end{split}$

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[question:AD223]

Lösungsweg

• gegeben: L = \qty{100}{\micro\henry}
• gegeben: C = \qty{0,01}{\micro\farad}
• gegeben: R_\text{S} = \qty{10}{\ohm}
• gesucht: B

$B = \frac{R_\text{S}}{2 \pi \cdot L} = \frac{\qty{10}{\ohm}}{2 \pi \cdot \qty{100}{\micro\henry}} \approx \qty{15,9}{\kilo\hertz}$ --- style="font-size: 0.7em;" data-transition="none" ## Kopplung

[picture:184:a_schwingkreis_kopplung:Induktive Kopplung zweier Schwingkreise und das Spannungsdiagramm über die Frequenz]

• Zwischen Schaltungsstufen oder Filtern werden häufig gekoppelte Schwingkreise verwendet
• Zwei Schwingkreise induktiv oder kapazitiv aneinander gekoppelt
• Grad der Kopplung bestimmt die gegenseitige Beeinflussung, Bandbreite und Durchlasskurve

--- style="font-size: 0.7em;" data-transition="none" [picture:184:a_schwingkreis_kopplung:Induktive Kopplung zweier Schwingkreise und das Spannungsdiagramm über die Frequenz]

• d: lose Kopplung \rightarrow kaum gegenseitige Beeinflussung, sehr hohe Durchlassdämpfung und sehr geringe Bandbreite
• c: unterkritische Kopplung \rightarrow kaum gegenseitige Beeinflussung, hohe Durchlassdämpfung und geringe Bandbreite

--- style="font-size: 0.7em;" data-transition="none" [picture:184:a_schwingkreis_kopplung:Induktive Kopplung zweier Schwingkreise und das Spannungsdiagramm über die Frequenz]

• b: kritische Kopplung \rightarrow etwas gegenseitige Beeinflussung, flache Durchlasskurve mit geringer Dämpfung und Plateau im Durchlassbereich sowie gute Bandbreite

--- style="font-size: 0.7em;" data-transition="none" [picture:184:a_schwingkreis_kopplung:Induktive Kopplung zweier Schwingkreise und das Spannungsdiagramm über die Frequenz]

• a: überkritische Kopplung \rightarrow starke gegenseitige Beeinflussung, Änderung der Resonanzfrequenzen, große Bandbreite und Verzerrung der Durchlasskurve im Durchlassbereich mit "Dellen"

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[question:AD227]

[question:AD228]

[question:AD229]