50ohm-contents-dl/contents/sections/binart.md

Vi människor är vana vid att använda de tio siffrorna från \num{0} till \num{9}. Man talar om ett tiosystem eller decimalsystem.

För datorer är det däremot enklare att arbeta med bara \num{2} siffror: \num{0} och \num{1}. Det motsvarar två tillstånd: till exempel avstängd och påslagen, ”transistor spärrad” och ”transistor ledande” eller också \qty{0}{\volt} och \qty{5}{\volt}. Det ger ett binärt talsystem.

Att räkna går likadant i alla talsystem (se tabell [ref:binaer_zahlensysteme]): man börjar på \num{0} och räknar upp siffrorna. När siffrorna är slut börjar man om och skriver en \num{1} framför varje tal. Därför kommer i decimalsystemet \num{10} efter \num{9}. Siffran längst till höger har det värde den själv föreställer. Det kallas positionsvärdet \num{1}.

---

I decimalsystemet är den andra siffran från höger tio gånger så mycket värd som den själv, har alltså positionsvärdet \num{10}. Varje position längre åt vänster är tio gånger så mycket värd som den till höger om den. Till exempel betyder decimaltalet \num{5573} i tabell [ref:binaer_stellenwert_dezimal] egentligen 5 \cdot 1000 + 5 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + 3 \cdot 1.

|c: |c: |c: |c: | |$\num{1000}$ | $\num{100}$ | $\num{10}$ | $\num{1}$ | | $\num{5}$ | $\num{5}$ | $\num{7}$ | $\num{3}$ | [table:binaer_stellenwert_dezimal:Positionsvärden för det fyrsiffriga decimaltalet $\num{5573}$]

|r: Decimalt | r: Binärt | | \num{0} | \num{0} | | \num{1} | \num{1} | | \num{2} | \num{10} | | \num{3} | \num{11} | | \num{4} | \num{100} | | \num{5} | \num{101} | | \num{6} | \num{110} | | \num{7} | \num{111} | | \num{8} | \num{1000} | | \num{9} | \num{1001} | | \num{10} | \num{1010} | | \num{11} | \num{1011} | | \num{12} | \num{1100} | | \num{13} | \num{1101} | | \num{14} | \num{1110} | | \num{15} | \num{1111} | [table:binaer_zahlensysteme:Tal i decimal- och binärsystemet]

I binärsystemet finns bara två siffror, nämligen \num{0} och \num{1}. Som framgår av tabell [ref:binar_stellenwert_dual] har den första positionen från höger positionsvärdet \num{1}, den andra \num{2}, den tredje \num{4}, den fjärde \num{8} och så vidare. Positionsvärdena fördubblas i stället för att tiodubblas, eftersom det bara finns två siffror och inte tio. En position i binärsystemet kallas också bit (\unit{\bit}).

|c: |c: |c: |c: |c: |c: |c: |c: | | \num{128} | \num{64} | \num{32} | \num{16} | \num{8} | \num{4} | \num{2} | \num{1} | | \num{1} | \num{0} | \num{0} | \num{0} | \num{1} | \num{1} | \num{1} | \num{0} | [table:binar_stellenwert_dual:Positionsvärden för det åttasiffriga binära talet $\num{10001110}$]

Om man kan positionsvärdena är det enkelt att omvandla binära tal till decimalsystemet. Låt oss ta ett exempel ur tabell [ref:binar_stellenwert_dual]. Det binära talet \num{10001110} ska räknas om till ett decimaltal.

1. Man skriver positionsvärdet ovanför varje siffra i det binära talet.
2. Man adderar alla positionsvärden som har en \num{1} under sig: 128+8+4+2=142

På papper kan man skriva binära tal med så många bitar som man råkar behöva. I digitalteknik är det annorlunda. Hård- eller mjukvaran anger ett bestämt antal positioner, som också kallas bredd. Till exempel har mikrokontrollrar eller datorer ofta bredderna \num{8}, \num{16}, \num{32} eller \qty{64}{\text{bitar}}. Vid presentationen fylls binära tal ofta på framtill med nollor tills denna bredd nås. Det ändrar ingenting i talets värde.

En fast bredd begränsar värdeområdet. Med en bit är två värden möjliga (\num{0} och \num{1}), med två bitar redan fyra (\num{00}, \num{01}, \num{10} och \num{11}) och med varje ytterligare bit dubbelt så många. Med n bitar kan 2^n olika tal representeras.