50ohm-contents-dl/contents/sections/decibel_2.md

I Instegscertifikatet har vi redan lärt känna decibel som ett verktyg för att beskriva förhållanden, och sett att en effektändring på \qty{3}{\dB} motsvarar en effektfaktor på \num{2}. Tabell [ref:a_dezibel_leistungsfaktoren] innehåller fler viktiga motsvarigheter.

| c:dB | c:≈ Effektfaktor | | $-20$ | $\num{0,01}$ | | $-10$ | $\num{0,1}$ | | $-6$ | $\num{0,25}$ | | $-3$ | $\num{0,5}$ | | $-1$ | $\num{0,79}$ | | $0$ | $\num{1}$ | | $1,5$ | $\sqrt{2} = \num{1,41}$ | | $2,15$ | $\num{1,64}$ | | $3$ | $\num{2}$ | | $5$ | $\sqrt{10} = \num{3,16}$ | | $6$ | $\num{4}$ | | $10$ | $\num{10}$ | | $20$ | $\num{100}$ | [table:a_dezibel_leistungsfaktoren:Viktiga effektfaktorer i $\unit{\dB}$]

För omräkning av ett effektförhållande till \unit{\dB} används följande formel, som du redan har sett tidigare. Förhållandet g mellan två effekter P_1 och P_2 i \unit{\dB} är:

g = 10\cdot \log_{10}\left(\frac{P_2}{P_1}\right)\unit{\dB}

Exempel: En förstärkare har ineffekten P_1 = \qty{2,5}{\watt} och uteffekten P_2 = \qty{38}{\watt}. Förstärkningen är då g = 10\cdot \log_{10}\left(\frac{\qty{38}{\watt}}{\qty{2,5}{\watt}}\right)\unit{\dB} = \qty{11,8}{\dB}.

Vill man få fram en förhållandefaktor ur ett $\unit{\dB}$-värde måste formeln formas om:

\begin{align*} g &= 10 \cdot \log_{10}\left( x \right) \unit{\dB} & \quad\quad\quad &|: \qty{10}{\dB} \\ \frac{g}{\qty{10}{\dB}} &= \log_{10}\left( x \right) &~&| \quad 10^{x}\\ x &= 10^{\frac{g}{\qty{10}{\dB}}} &~&~\end{align*}

Med dessa två formler kan vi enkelt räkna om mellan $\unit{\dB}$-värden och förhållandefaktorer. Exempel: En förstärkning på \qty{16}{\dB} ger med \qty{1}{\watt} på ingången uteffekten \qty{1}{\watt} \cdot 10^{1,6} \approx \qty{40}{\watt}. Utan miniräknare: \qty{16}{\dB} = \qty{10}{\dB} + \qty{6}{\dB}, alltså faktor 10 \cdot 4 = 40.

---

Du har redan lärt dig följande knep: Decibelvärden som slutar på ”$0$” kan uppskattas helt utan miniräknare: Håll för den sista nollan, så anger siffran antalet nollor i förhållandefaktorn. Exempel: $\qty{30}{\dB} \rightarrow 3 \rightarrow 3~\text{nollor} \rightarrow \text{förhållandefaktor}~1000$!

Det går också att räkna åt andra hållet: En etta med 12 nollor (\num{1000000000000}) i \unit{\dB} är helt enkelt antalet nollor, alltså 12, multiplicerat med 10. Det ger en förstärkningsfaktor på \qty{120}{\dB}.

Även för $\unit{\dB}$-värden som inte slutar på 0 kan man hitta faktorn genom uppdelning:

• Man kan dela upp \qty{9}{\dB} i \qty{6}{\dB} + \qty{3}{\dB}, vilket motsvarar en multiplikation 4\cdot 2 = 8.
• Vilken faktor motsvarar ett effektförhållande på \qty{17}{\dB}? \qty{17}{\dB} = \qty{20}{\dB} - \qty{3}{\dB}, alltså faktor 100 delat med 2 är 50.

Decibel (\unit{\dB}) beskriver i grunden ett dimensionslöst förhållande, till exempel mellan effekter eller spänningar. Därför används \unit{\dB} framför allt för att ange förstärkning och dämpning. I dessa fall behövs inget ytterligare tillägg, eftersom det bara är förhållandet mellan två storheter som anges. Negativa decibelvärden betecknar förresten förhållanden mindre än 1. Så motsvarar \qty{-3}{\dB} ett förhållande på \frac{1}{2} = \num{0,5}.

Man kan också använda decibelvärden för att ange en absolut nivå. Då krävs dock en fast referens P_0:

p = 10\cdot \log_{10}\left(\frac{P}{P_0}\right)\unit{\dB}

---

Referensen kan till exempel vara en effekt på \qty{1}{\milli\watt}. Då får decibelvärdet ett motsvarande tillägg: Om nivån är relaterad till \qty{1}{\milli\watt} talar man om \unit{\dBm}. Därmed är det entydigt fastlagt vilket absolut effektvärde decibelnivån syftar på.

Om du till exempel möter uppgiften ”Sändaren har uteffekten $\qty{20}{\dBm}$” är det lätt att räkna om värdet till milliwatt. En nivå på \qty{20}{\dB} motsvarar effektfaktorn 100 (alltså två nollor). Faktorn multipliceras med referensen \qty{1}{\milli\watt}:

P = 100 \cdot \qty{1}{\milli\watt} = \qty{100}{\milli\watt}

I tabell [ref:a_bezugsgroessen] listas de viktigaste referenserna och deras $\unit{\dB}$-beteckningar.

| l: Beteckning | X: Referensvärde | | $\unit{\dBm}$ | $\qty{1}{\milli\watt}$ | | $\unit{\dBW}$ | $\qty{1}{\watt}$ | | $\unit{\dBu}$ | $\qty{0,775}{\volt}$ | | $\unit{\dB\micro\volt}$ | $\qty{1}{\micro\volt}$ | [table:a_bezugsgroessen:Viktiga referensvärden]

Ytterligare exempel: \qty{20}{\dBW} motsvarar P = 10^{\frac{\qty{20}{\dBW}}{10}} \cdot \qty{1}{\watt} = \qty{100}{\watt}. Och \qty{1}{\watt} = \qty{1000}{\milli\watt} motsvarar \qty{30}{\dBm}; en förstärkning på \qty{10}{\dB} (faktor 10) ger \qty{10000}{\milli\watt} = \qty{40}{\dBm}.

---

Varför gör man egentligen så här och anger absoluta effekter i \unit{\dBm} och \unit{\dBW}? Som redan antytts är det främsta syftet med decibel att förenkla beräkningar. När förstärkningar och dämpningar anges i decibel kan hela signalkedjor överslagsräknas med enkel addition och subtraktion, utan krångliga multiplikationer och divisioner.

Figur [ref:e_signalkette] visar en sådan signalkedja med tre förstärkarsteg. Insignalen har effekten \qty{1}{\milli\watt}, vilket motsvarar \qty{0}{\dBm}. Genom de tre förstärkarstegen förstärks signalen sammanlagt till \qty{60}{\dBm} (alltså \num{1000000}\cdot \qty{1}{\milli\watt}), vilket motsvarar en effekt på \qty{1000}{\watt}.

Figur [ref:e_signalkette_2] visar ett annat exempel på en signalkedja, där dessutom ett dämpsteg med dämpningen \qty{20}{\dB} används, vilket motsvarar en förstärkning på \qty{-20}{\dB}. Insignalen har effekten \qty{1}{\milli\watt}, alltså \qty{0}{\dBm}. Det första förstärkarsteget höjer signalen till \qty{10}{\dBm}. Sedan dämpas den av dämpsteget till \qty{-10}{\dBm} och förstärks slutligen av det andra förstärkarsteget tillbaka till \qty{0}{\dBm}, vilket åter motsvarar \qty{1}{\milli\watt}.

[picture:877:e_signalkette:Signalkedja med tre förstärkare] [picture:1053:e_signalkette_2:Signalkedja med två förstärkare och ett dämpsteg] Varför är det tillåtet att dra en dämpning på $\qty{3}{\dB}$ från nivån $\qty{9}{\dBm}$? Båda värdena har ju olika enheter! Enheten bel ($\unit{\bel}$) respektive decibel ($\unit{\dB}$) är en hjälpenhet (även kallad pseudoenhet). I princip kunde talvärdet också skrivas utan enheten $\unit{\dB}$. Men med tillägget $\unit{\dB}$ framgår det att det rör sig om ett logaritmiskt förhållande mellan två storheter. Utan enheten skulle man vara tvungen att med ord beskriva vad talvärdet betyder.

För att bestämma den totala förstärkningen hos en flerstegs effektförstärkare tar man differensen mellan utgående och ingående effekt genom subtraktion av dBm-värdena med rätt tecken. Exempel: Ineffekt \qty{-5}{\dBm} och uteffekt \qty{20}{\dBm} ger en total förstärkning på \qty{25}{\dB} (\qty{20}{\dBm} - (\qty{-5}{\dBm}) = \qty{25}{\dB}).

Dessutom har vi tidigare mött tilläggen \unit{\dBd} och \unit{\dBi}, som används för antennförstärkning. Då är decibelvärdet inte relaterat till en effekt eller spänning utan till en bestämd referensantenn. Vanliga är \unit{\dBi}, relaterat till den isotropa kulstrålaren, samt \unit{\dBd}, relaterat till halvvågsdipolen.

---

Förutom effektförhållanden kan vi också använda decibel för att ange spänningsförhållanden och spänningsnivåer. För det kan vi använda formeln P = \frac{U^2}{R}. Då kan vi skriva:

\begin{split}g &= 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{P_1}{P_2}\right)\\ g &= 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{\frac{U_1^2}{\cancel{R}}}{\frac{U_2^2}{\cancel{R}}}\right)\\ g &= 10 \cdot \log_{10}\left(\left(\frac{U_1}{U_2}\right)^2\right) \end{split}

*Att räkna med logaritmer:* Några enkla räkneregler gör det möjligt att lösa decibeluppgifter utan miniräknare.

• Logaritmen av en produkt av två tal är summan av logaritmerna: \log_{10}(a\cdot b) = \log_{10}(a)+ \log_{10}(b)
• Logaritmen av en kvot av två tal är differensen mellan logaritmerna: \log_{10}(a / b) = \log_{10}(a) - \log_{10}(b)
• Logaritmen av ett kvadrerat tal: \log_{10}(x^2)= 2 \cdot \log_{10}(x)
• Logaritmen av en kvadratrot: \log_{10}(\sqrt{x})= \frac{1}{2} \cdot \log_{10}(x)

Logaritmen av ett kvadrerat tal är alltså två gånger logaritmen av talet:

\log_{10}(x^2)=2 \cdot \log_{10}(x)

Det följer att:

\begin{split} g &= 10 \cdot \log_{10}\left(\left(\frac{U_1}{U_2}\right)^2\right)\\ g &= 10 \cdot 2 \cdot \log_{10}\left(\frac{U_1}{U_2}\right) \\ g &= 20 \cdot \log_{10}\left(\frac{U_1}{U_2}\right) \end{split}

---

Därför beräknar vi ett förhållande $g$ mellan två spänningar U_1 och U_2 genom att multiplicera logaritmen av förhållandet inte med faktor 10 utan med faktor 20.

Exempel: U_1 = \qty{1}{\milli\volt} och U_2 = \qty{4}{\milli\volt} ger g = 20\cdot \log_{10}\left(\frac{\qty{4}{\milli\volt}}{\qty{1}{\milli\volt}}\right)\unit{\dB} = \qty{12}{\dB}.

Vid decibelberäkning, kontrollera alltid noga om det gäller effekt- eller spänningsförhållanden!

För att bestämma spänningsnivåer måste vi först fastlägga en referensspänning (jämför tabell [ref:a_bezugsgroessen]). För mottagna signaler mäter vi gärna de (mycket små) spänningarna vid mottagaringången i \unit{\micro\volt}. Motsvarande spänningsnivå får då enheten \unit{\dBuV}. Exempel:

\qty{10}{\micro\volt} \rightarrow 20 \cdot \log_{10}\left(\frac{\qty{10}{\micro\volt}}{\qty{1}{\micro\volt}}\right)=\qty{20}{\dBuV}

---

Ett annat exempel har referensvärdet \qty{1}{\micro\volt\per\meter} (fältstyrka). Då gäller \qty{120}{\dB(\micro\volt\per\meter)} \rightarrow U = 10^{\frac{120}{20}} \cdot \qty{1}{\micro\volt\per\meter} = \qty{1}{\volt\per\meter}.

Observera att här menas $\unit{\dB(\micro\volt\per\meter)}$ och inte $\unit{(\dB\micro\volt)/\meter}$! Även för spänningar kan man räkna mycket i huvudet med hjälp av tabellen:

| c:dB | c:≈ Spänningsförhållande | | -20 | \num{0,1} | | -10 | \num{0,32} | | -6 | \num{0,5} | | -3 | \num{0,71} | | -1 | \num{0,89} | | 0 | \num{1} | | 1 | \num{1,12} | | 3 | \num{1,41} | | 6 | 2 | | 10 | 3,16 | | 20 | 10 | [table:a_spannungsverhaeltnisse:Viktiga spänningsförhållanden i $\unit{\dB}$]

Exempel:

• Hur många \unit{\dB} motsvarar ett spänningsförhållande på 4? 4 = 2 \cdot 2 \rightarrow \qty{6}{\dB} + \qty{6}{\dB} = \qty{12}{\dB}