fix: Uniformly use \mathrm{ges} for equivalent resistance/capacitance/inductance
Unify several notations like `R_G`, `R_{\textrm{ges}}`, `R_{ges}` to
`R_{\mathrm{ges}}`.
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Mario Haustein
@@ -8,7 +8,7 @@ Schwieriger ist die Berechnung einer Reihenschaltung von 3 Kondensatoren.
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Bei der folgenden Aufgabe hat die kleinste Kapazität den Wert $\qty{22}{\pico\farad}$.
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Die Gesamtkapazität muss deshalb kleiner als $\qty{22}{\pico\farad}$ sein. Da in der Lösung zwei Ergebnisse unter $\qty{22}{\pico\farad}$ zu finden sind, ist keine Abschätzung möglich, sondern es ist eine Rechnung notwendig.
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$\frac{1}{C_{G}} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}}$
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$\frac{1}{C_{\mathrm{ges}}} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}}$
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(siehe Formelsammlung Seite 236 unten - Stichwort: Kondensatoren in Reihenschaltung )
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@@ -19,7 +19,7 @@ $\frac{1}{C_{G}} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}}$
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Man gibt die Kapazitätswerte immer mit der 1/x - Taste in den Taschenrechner ein und muss am Schluss nochmals 1/x drücken.
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</tip>
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$C_1$ mit $\qty{0,1}{\nano\farad}$ muss in Picofarad umgewandelt werden. Dies ergibt $\qty{100}{\pico\farad}$.
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$\frac{1}{C_{G}} = \frac{1}{\qty{100}{\pico\farad}} + \frac{1}{\qty{47}{\pico\farad}} + \frac{1}{\qty{22}{\pico\farad}}$
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$\frac{1}{C_{\mathrm{ges}}} = \frac{1}{\qty{100}{\pico\farad}} + \frac{1}{\qty{47}{\pico\farad}} + \frac{1}{\qty{22}{\pico\farad}}$
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[question:AD104]
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@@ -10,7 +10,7 @@ Durch die Paralelschaltung stehen sich mehr Platten gegenüber und somit erhöht
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Bei einer Parallelschaltung von gleich großen Kondensatoren verdoppelt sich die Kapazität, die Spannungsfestigkeit bleibt gleich. Selbstverständlich kann man die Gesamtkapazität berechnen. Die Formel finden wir in der Formelsammlung:
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$C_{G} = C_{1} + C_{2} + C_{3} + \dots$
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$C_{\mathrm{ges}} = C_{1} + C_{2} + C_{3} + \dots$
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<tip>
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Die Gesamtkapazität ist bei der Parallelschaltung immer größer als die kleinste Einzelkapazität.
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@@ -39,7 +39,7 @@ Als Verständnistest kann die nächste Aufgabe verwendet werden.
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Bei einer Reihenschaltung von Kondensatoren, wie in Abbildung [ref:e_3C-parallel] gezeigt, erhöht sich die Spannungsfestigkeit, allerdings verringert sich die Kapazität. Selbstverständlich kann man wieder die Gesamtkapazität berechnen. Diese ist sehr ähnlich zur Parallelschaltung von Widerstanden:
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$\frac{1}{C_{G}} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}}$
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$\frac{1}{C_{\mathrm{ges}}} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}}$
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[picture:823:e_3C-parallel:Reihenschaltung von 3 Kondensatoren]
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@@ -66,7 +66,7 @@ Wenn alle Kondensatoren gleiche Kapazitätswerte haben, dann kann man die Gesamt
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Bei der Reihenschaltung von Kondensatoren in der folgenden Aufgabe findet man $\unit{\micro\farad}$ und $\unit{\nano\farad}$ als Vorsilbe. Es ist sehr sinnvoll, $\qty{200000}{\nano\farad}$ zuerst in $\qty{200}{\micro\farad}$ umzuwandeln. Bei einer Reihenschaltung kann man nun die Formel aus der Formelsammlung anwenden.
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$C_{G} = \frac{1}{\frac{1}{\qty{100}{\micro\farad}} + \frac{1}{\qty{50}{\micro\farad}} + \frac{1}{\qty{100}{\micro\farad}}}$
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$C_{\mathrm{ges}} =\frac{1}{\frac{1}{\qty{100}{\micro\farad}} + \frac{1}{\qty{50}{\micro\farad}} + \frac{1}{\qty{100}{\micro\farad}}}$
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[question:ED120]
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@@ -90,7 +90,7 @@ Die weiteren Aufgaben ähnlich und leicht lösbar.
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%Lösungshilfen:
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%*ED 118:* Reihenschaltung von $\qty{22}{\nano\farad}$, $\qty{0,033}{\micro\farad} = \qty{33}{\nano\farad}$ und $\qty{15000}{\pico\farad} = \qty{15}{\nano\farad}$.
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%$\frac{1}{C_{ges}} = \frac{1}{\qty{22}{\nano\farad}} + \frac{1}{\qty{33}{\nano\farad}} + \frac{1}{\qty{15}{\nano\farad}}$
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%$\frac{1}{C_{\mathrm{ges}}} = \frac{1}{\qty{22}{\nano\farad}} + \frac{1}{\qty{33}{\nano\farad}} + \frac{1}{\qty{15}{\nano\farad}}$
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%Eigentlich muss man nicht rechnen, denn es gibt nur ein Ergebnis, das kleiner als $\qty{15}{\nano\farard}$ ist.
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%*ED 120:* $\qty{50}{\micro\farad}$
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%*ED 122:* $C_2 = \qty{1}{\micro\farad}$ und $C_3 = \qty{1}{\micro\farad}$ in Parallelschaltung ergibt zusammen $\qty{2}{\micro\farad}$. Dazu $C_1 = \qty{2}{\micro\farad}$ in Reihe %ergibt die Hälfte , also $\qty{1}{\micro\farad}$.
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@@ -13,14 +13,14 @@ Die Abbildung [ref:e_spannungsteiler] zeigt zwei Widerstände $R_1$ und $R_2$, d
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$U_1 = R_1 \cdot I$ und $U_2 = R_2 \cdot I$ ab.
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Die Gesamtspannung $U_g$ ist einfach die Summe dieser beiden Spannungen:
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$U_g = U_1 + U_2 = R_{ges} \cdot {I} = R_1 \cdot I + R_2 \cdot I$
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$U_g = U_1 + U_2 = R_{\mathrm{ges}} \cdot {I} = R_1 \cdot I + R_2 \cdot I$
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Jetzt können wir den Widerstand berechnen, der zwischen den äußeren Klemmen zu sehen ist:
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$R_{ges} = \frac{U_g}{I} = R_1 + R_2$, weil sich auf beiden Seiten der Gleichung der Strom $I$ rauskürzt.
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$R_{\mathrm{ges}} = \frac{U_g}{I} = R_1 + R_2$, weil sich auf beiden Seiten der Gleichung der Strom $I$ rauskürzt.
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Das Ganze funktioniert auch bei mehr als zwei Widerständen, wie in der Formelsammlung dargestellt:
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$R_{ges} = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + \dots$
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$R_{\mathrm{ges}} = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + \dots$
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@@ -40,9 +40,9 @@ Der im äußeren Stromkreis fließende Strom ist die Summe dieser beiden Ströme
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$I = I_1 + I_2 = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2}$
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Wir suchen wieder einen Gesamtwiderstand $R_{ges}$, für den dann gelten muss: $I=\frac{U}{R_{ges}}$ und folglich:
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Wir suchen wieder einen Gesamtwiderstand $R_{\mathrm{ges}}$, für den dann gelten muss: $I=\frac{U}{R_{\mathrm{ges}}}$ und folglich:
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$\dfrac{1}{R_{ges}} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}$
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$\dfrac{1}{R_{\mathrm{ges}}} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}$
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@@ -50,11 +50,11 @@ Der Kehrwert des Gesamtwiderstands ist also die Summe der Kehrwerte der Einzelwi
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Auch hier können wir die Berechnung für beliebig viele parallele Widerstände durchführen (vgl. Formelsammlung):
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$\dfrac{1}{R_{ges}} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dfrac{1}{R_3} + \dfrac{1}{R_4} + \dots$
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$\dfrac{1}{R_{\mathrm{ges}}} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dfrac{1}{R_3} + \dfrac{1}{R_4} + \dots$
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Den Ausdruck für zwei parallele Widerstände können wir nach den Regeln der Bruchrechnung auch schreiben als:
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$R_{ges} = \dfrac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$
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$R_{\mathrm{ges}} = \dfrac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$
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<tip>
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Bei der Reihenschaltung ist die Wert des Gesamtwiderstands immer größer als der größte Einzelwiderstand. Bei der Parallelschaltung ist der Gesamtwiderstand immer kleiner als der kleinste Einzelwiderstand.
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@@ -77,7 +77,7 @@ Einige der Aufgaben enthalten Widerstandsnetzwerke, in denen sowohl eine Reihen-
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<tip>
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[picture:305:e_tipp_aufgabe:Beispielschaltung]
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Ein wichtiges Lösungsverfahren ist die "Methode des scharfen Hinsehens" ... da gibt es zum Beispiel eine Schaltung, die einen Widerstand $R_1$ in Reihe mit zwei parallel geschalteten Widerständen $R_2$ und $R_3$ hat. Die Werte sind $R_1 = \qty{1}{\kilo\ohm}$, $R_2 = \qty{2000}{\ohm}$ und $R_3 = \qty{2}{\kilo\ohm}$. Nun sind aber $\qty{2}{\kilo\ohm} = \qty{2000}{\ohm}$. Die Paralellschaltung von $R_2$ und $R_3$ ergibt einen Widerstand, der halb so groß ist: $\qty{1000}{\ohm} = \qty{1}{\kilo\ohm}$. Den schalten wir in Reihe mit $R_1$ und erhalten das Ergebnis: $R_{ges} = \qty{2}{\kilo\ohm}$.
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Ein wichtiges Lösungsverfahren ist die "Methode des scharfen Hinsehens" ... da gibt es zum Beispiel eine Schaltung, die einen Widerstand $R_1$ in Reihe mit zwei parallel geschalteten Widerständen $R_2$ und $R_3$ hat. Die Werte sind $R_1 = \qty{1}{\kilo\ohm}$, $R_2 = \qty{2000}{\ohm}$ und $R_3 = \qty{2}{\kilo\ohm}$. Nun sind aber $\qty{2}{\kilo\ohm} = \qty{2000}{\ohm}$. Die Paralellschaltung von $R_2$ und $R_3$ ergibt einen Widerstand, der halb so groß ist: $\qty{1000}{\ohm} = \qty{1}{\kilo\ohm}$. Den schalten wir in Reihe mit $R_1$ und erhalten das Ergebnis: $R_{\mathrm{ges}} = \qty{2}{\kilo\ohm}$.
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</tip>
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[question:ED111]
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@@ -26,7 +26,7 @@ Hinweis: $\qty{1}{\milli\watt} = \qty{\frac{1}{1000}}{\watt} = \qty{0,001}{\watt
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Jetzt wird es etwas schwieriger, da nach der Leistung an $R_2$ gefragt wird.
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Die Gesamtspannung und die Widerstandswerte entsprechen der vorherigen Aufgabe, deshalb fließt durch $R_2$ der gleiche Strom wie durch $R_3$ und entspricht dem halben Strom wie durch $R_1$.
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Es ist zuerst der Gesamtstrom zu berechnen. $I = \frac {U}{R_{ges}}$ ; danach $I_2 = \frac {I}{2}$
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Es ist zuerst der Gesamtstrom zu berechnen. $I = \frac{U}{R_{\mathrm{ges}}}$; danach $I_2 = \frac{I}{2}$
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Die Leistung berechnet man mit der Formel $P = U \cdot I$. Hier müssen die Werte, wie sie an dem gesuchten Widerstand auftreten, eingesetzt werden.
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Also $P_2 = U_2 \cdot I_2$
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Oh, eines neues Problem. $U_2$ ist noch nicht bekannt, lässt sich aber berechnen. $U_2 = R_2 \cdot I_2 = \qty{10}{\kilo\ohm} \cdot \qty{0,5}{\milli\ampere}$
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@@ -75,7 +75,7 @@ In der Praxis ist ein Spannungsteiler oft durch $R_L$ belastet, wie es im Schalt
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[question:AD114]
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Die Spannung $U_2$ muss dann im Vergleich zum unbelasteten Spannungsteiler kleiner werden .
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$U_2$ kann man ermitteln, indem zuerst der Gesamtwiderstand $ R_{2L}$ der Parallelschaltung von $R_2$ und $R_L$ berechnet wird. Danach berechnet man den Gesamtwiderstand $R_{ges}$ der Schaltung und mit I = $\frac {U}{R_{ges}}$ den Gesamtstrom. Dieser Strom fließt auch durch den $R_{2L}$ und bewirkt den Spannungsfall $U_2$.
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$U_2$ kann man ermitteln, indem zuerst der Gesamtwiderstand $R_{2L}$ der Parallelschaltung von $R_2$ und $R_L$ berechnet wird. Danach berechnet man den Gesamtwiderstand $R_{\mathrm{ges}}$ der Schaltung und mit $I = \frac{U}{R_{\mathrm{ges}}}$ den Gesamtstrom. Dieser Strom fließt auch durch den $R_{2L}$ und bewirkt den Spannungsfall $U_2$.
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Lösungshilfen:
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AD 106: $\qty{30}{\volt}$
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@@ -1,11 +1,11 @@
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Bei einer Spule in Reihenschaltung addieren sich die Induktivitäten.
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$L_\text{G} = L_1 + L_2 + L_3 + \dots$
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$L_{\mathrm{ges}} = L_1 + L_2 + L_3 + \dots$
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[photo:291:a_Spule mit Anzapfungen:Spule mit 14 Anzapfungen in einem selbstgebauten Antennenanpassgerät]
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Die Teilabschnitte zwischen den Anzapfungen können wie einzelne Spulen gesehen werden, deren Induktivität, durch Umschaltung der Anzapfungen, in Schritten erhöht werden kann. Die Reihenschaltung aller Teilabschnitte ergibt dann die Induktivität der Gesamtspule.
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Mit der Gesamtinduktivität $L_\text{G}$, und den Einzelinduktivitäten $L_1, L_2, L_3, \dots$
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Mit der Gesamtinduktivität $L_{\mathrm{ges}}$, und den Einzelinduktivitäten $L_1, L_2, L_3, \dots$
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Veranschaulicht werden kann es dadurch, dass man sich einfach mehrere gleichartige Spulten hintereinander vorstellt. Dabei addieren sich die Windungen der Spule. Elektrisch wirkt die Kombination von zwei gleichen Spulen wie eine entsprechend längere Spule.
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@@ -15,7 +15,7 @@ In der Berechnung ist auf die Angabe der Zehnerpotenzen (z.B. $\qty{1}{\milli\he
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Beispielrechnung:
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Wenn man die Gesamtinduktivität einer Spule $L_1 = \qty{0,033}{\milli\henry}$ und einer Spule $L_2 = \qty{150}{\micro\henry}$ berechnen möchte, so ergibt sich:
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$L_{ges} = L_1 + L_2 = \qty{0,033}{\milli\henry} + \qty{150}{\micro\henry} = \qty{33e-6}{\henry} + \qty{150e-6}{\henry} = \qty{183e-6}{\henry} = \qty{183}{\micro\henry}$
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$L_{\mathrm{ges}} = L_1 + L_2 = \qty{0,033}{\milli\henry} + \qty{150}{\micro\henry} = \qty{33e-6}{\henry} + \qty{150e-6}{\henry} = \qty{183e-6}{\henry} = \qty{183}{\micro\henry}$
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<indepth>
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[photo:287:a_Spulenvariometer:Spulenvariometer von $\qty{6}{\micro\henry}$ bis $\qty{35}{\micro\henry}$]
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@@ -18,9 +18,9 @@ Angenommen: Alle Widerstände haben einen Wert von $\qty{1}{\kilo\ohm}$ und die
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*unbelasteter Fall:*
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Ohne Rechnung ist sofort zu sehen: An jedem Widerstand können $\qty{6}{\volt}$ gemesen werden.
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Der Gesamtwiderstand $R_{ges}$ beträgt: $\qty{2}{\kilo\ohm}$
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$\dfrac{U_{ges1}}{U_{2}} = \frac{R_{ges}}{R_{2}}$
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Der Gesamtstrom $I_1$ beträgt: $I_1$ = $\frac{U_B}{R_{ges}}$
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Der Gesamtwiderstand $R_{\mathrm{ges}}$ beträgt: $\qty{2}{\kilo\ohm}$
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$\dfrac{U_B}{U_{2}} = \frac{R_{\mathrm{ges}}}{R_{2}}$
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Der Gesamtstrom $I_1$ beträgt: $I_1 = \frac{U_B}{R_{\mathrm{ges}}}$
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$I_1 = \frac{\qty{12}{\volt}}{\qty{2}{\kilo\ohm}} = \qty{6}{\milli\ampere}$. Dieser Strom fließt auch durch $R_2$.
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Die Verlustleistung ist an beiden Widerständen gleich groß: $P_1 = P_2 = \qty{6}{\volt} \cdot \qty{6}{\milli\ampere} = \qty{36}{\milli\watt}$
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@@ -28,7 +28,7 @@ Angenommen: Alle Widerstände haben einen Wert von $\qty{1}{\kilo\ohm}$ und die
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Die Parallelschaltung von $R_2$ und $R_L$ ergibt einen Ersatzwiderstand von $\qty{500}{\ohm}$.
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Der Gesamtwiderstand des Spannungsteilers beträgt nun $\qty{1,5}{\kilo\ohm}$. Jetzt wirkt eine Spannungsteiler mit $\qty{1}{\kilo\ohm}$ zu $\qty{500}{\ohm}$ und dementsprechend teilt sich die Gesamtspannung auf.
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$2/3$ der Gesamtspannung kann an $R_1$ und $1/3$ der Gesamtspannung kann an $\qty{500}{\ohm}$ gemessen werden.
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Formel: $\frac{U_1}{U_{ges}} = \frac{R_{1}}{R_{ges}} \ \ \ U_1 = U_{ges} * \frac{R_1}{R_{ges}}$
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Formel: $\frac{U_1}{U_B} = \frac{R_{1}}{R_{\mathrm{ges}}} \Leftrightarrow U_1 = U_B \cdot \frac{R_1}{R_{\mathrm{ges}}}$
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$U_1 = \qty{12}{\volt} \cdot \frac{\qty{1}{\kilo\ohm}}{\qty{1,5}{\kilo\ohm}}$
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$U_1 = \qty{8}{\volt}$ und am $\qty{500}{\ohm}$ Ersatzwiderstand $\qty{12}{\volt} - \qty{8}{\volt} = \qty{4}{\volt}$.
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@@ -15,10 +15,10 @@ Eigenkapazität einer Spule
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* gegeben: $C_1 = \qty{0,10}{\nano\farad}$
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* gegeben: $C_2 = \qty{47}{\pico\farad}$
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* gegeben: $C_3 = \qty{22}{\pico\farad}$
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* gesucht: $C_{\textrm{ges}}$
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* gesucht: $C_{\mathrm{ges}}$
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<fragment>
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$\begin{split} \tfrac{1}{C_{\textrm{ges}}} &= \tfrac{1}{C_1} + \tfrac{1}{C_2} + \tfrac{1}{C_3} = \tfrac{1}{\qty{0,10}{\nano\farad}} + \tfrac{1}{\qty{47}{\pico\farad}} + \tfrac{1}{\qty{22}{\pico\farad}}\\ &= \qty{7,67e10}{\farad^{-1}}\\ \Rightarrow C_{\textrm{ges}} &= \frac{1}{\qty{7,67e10}{\farad^{-1}}} \approx \qty{13,0}{\pico\farad} \end{split}$
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$\begin{split} \tfrac{1}{C_{\mathrm{ges}}} &= \tfrac{1}{C_1} + \tfrac{1}{C_2} + \tfrac{1}{C_3} = \tfrac{1}{\qty{0,10}{\nano\farad}} + \tfrac{1}{\qty{47}{\pico\farad}} + \tfrac{1}{\qty{22}{\pico\farad}}\\ &= \qty{7,67e10}{\farad^{-1}}\\ \Rightarrow C_{\mathrm{ges}} &= \frac{1}{\qty{7,67e10}{\farad^{-1}}} \approx \qty{13,0}{\pico\farad} \end{split}$
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</fragment>
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[question:AD103]
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@@ -29,10 +29,10 @@ $\begin{split} \tfrac{1}{C_{\textrm{ges}}} &= \tfrac{1}{C_1} + \tfrac{1}{C_2} +
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* gegeben: $C_2 = \qty{1,5}{\nano\farad}$
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* gegeben: $C_3 = \qty{220}{\pico\farad}$
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* gegeben: $C_L = \qty{1}{\pico\farad}$
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* gesucht: $C_{\textrm{ges}}$
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* gesucht: $C_{\mathrm{ges}}$
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<fragment>
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$\begin{split} C_{\textrm{ges}} &= C_1 + C_2 + C_3 + C_L\\ &= \qty{0,1}{\nano\farad} + \qty{1,5}{\nano\farad} + \qty{220}{\pico\farad} + \qty{1}{\pico\farad}\\ &= \qty{1821}{\pico\farad} \end{split}$
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$\begin{split} C_{\mathrm{ges}} &= C_1 + C_2 + C_3 + C_L\\ &= \qty{0,1}{\nano\farad} + \qty{1,5}{\nano\farad} + \qty{220}{\pico\farad} + \qty{1}{\pico\farad}\\ &= \qty{1821}{\pico\farad} \end{split}$
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</fragment>
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<note>
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Einheitenpräfixe beachten und mit Kehrwerten rechnen
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@@ -9,19 +9,19 @@
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[picture:823:e_reihenschaltung_kondensatoren:Reihenschaltung von 3 Kondensatoren]
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$\frac{1}{C_{G}} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}}$
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$\frac{1}{C_{\mathrm{ges}}} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}}$
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* Vereinfachung für zwei Kondensatoren:
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$C_{G} = \dfrac{C_{1} \cdot C_{2}}{C_{1} + C_{2}}$
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$C_{\mathrm{ges}} = \dfrac{C_{1} \cdot C_{2}}{C_{1} + C_{2}}$
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* Vereinfachung für gleiche Kondensatoren:
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$C_{G} = \dfrac{C}{n}$
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$C_{\mathrm{ges}} = \dfrac{C}{n}$
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$n$ steht für die Anzahl der Kondensatoren
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@@ -50,7 +50,7 @@ $n$ steht für die Anzahl der Kondensatoren
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[picture:822:e_parallelschaltung_kondensatoren:Parallelschaltung von 3 Kondensatoren]
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$C_{G} = C_{1} + C_{2} + C_{3}$
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$C_{\mathrm{ges}} = C_{1} + C_{2} + C_{3}$
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@@ -71,11 +71,11 @@ $C_{G} = C_{1} + C_{2} + C_{3}$
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<left>
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* Hier berechnet man zuerst die Parallelschaltung von $C_{2}$ und $C_{3}$
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$C_{Gp} = C_{2} + C_{3}$
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$C_{\mathrm{ges,p}} = C_{2} + C_{3}$
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* Danach berechnet man die Reihenschaltung von $C_{1}$ und $C_{Gp}$
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* Danach berechnet man die Reihenschaltung von $C_{1}$ und $C_{\mathrm{ges,p}}$
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$C_{G} = \frac{C_{1} \cdot C_{Gp}}{C_{1} + C_{Gp}}$
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$C_{\mathrm{ges}} = \frac{C_{1} \cdot C_{\mathrm{ges,p}}}{C_{1} + C_{Gp}}$
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</left>
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<right>
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[picture:820:e_gemischt_variante_1:Gemischte Schaltung - Variante 1]
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@@ -100,11 +100,11 @@ $C_{G} = \frac{C_{1} \cdot C_{Gp}}{C_{1} + C_{Gp}}$
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<left>
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* Hier berechnet man zuerst die Reihenschaltung von $C_{1}$ und $C_{2}$
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$C_{Gr} = \frac{C_{1} \cdot C_{2}}{C_{1} + C_{2}}$
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$C_{\mathrm{ges,r}} = \frac{C_{1} \cdot C_{2}}{C_{1} + C_{2}}$
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* Danach berechnet man die Parallelschaltung von $C_{3}$ und $C_{Gr}$
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* Danach berechnet man die Parallelschaltung von $C_{3}$ und $C_{\mathrm{ges,r}}$
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$C_{G} = \frac{C_{3} \cdot C_{Gr}}{C_{3} + C_{Gr}}$
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$C_{\mathrm{ges}} = \frac{C_{3} \cdot C_{\mathrm{ges,r}}}{C_{3} + C_{\mathrm{ges,r}}}$
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</left>
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<right>
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[picture:457:e_gemischt_variante_2:Gemischte Schaltung - Variante 2]
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@@ -4,8 +4,8 @@ Bei einer Reihenschaltung addieren sich die Widerstandswerte
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[picture:812:e_reihenschaltung_von_r:Reihenschaltung von 3 Widerständen]
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$R_{G} = R_{1} + R_{2} + R_{3}$
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Beispiel: $R_{G} = \qty{100}{\ohm} + \qty{200}{\ohm} + \qty{300}{\ohm}$
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$R_{\mathrm{ges}} = R_{1} + R_{2} + R_{3}$
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Beispiel: $R_{\mathrm{ges}} = \qty{100}{\ohm} + \qty{200}{\ohm} + \qty{300}{\ohm}$
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--- style="font-size: 0.7em;"
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@@ -15,19 +15,19 @@ Bei einer Parallelschaltung von Widerständen ist der Gesamtwiderstand kleiner a
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[picture:811:e_parallelschaltung_von_r:Parallelschaltung von 3 Widerständen]
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$\frac{1}{R_{G}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}$
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$\frac{1}{R_{\mathrm{ges}}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}$
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Vereinfachung für zwei Widerstände:
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$R_{G} = \dfrac{R_{1} \cdot R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$
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$R_{\mathrm{ges}} = \dfrac{R_{1} \cdot R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$
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Vereinfachung für gleiche Widerstände:
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$R_{G} = \dfrac{R}{n}$
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$R_{\mathrm{ges}} = \dfrac{R}{n}$
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$n$ steht für die Anzahl der Widerstände
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@@ -57,7 +57,7 @@ Hier berechnet man zuerst die Parallelschaltung von $R_2$ und $R_3$ und addiert
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</fragment>
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<fragment>
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$R_{G} = \dfrac{R_{2} \cdot R_{3}}{R_{2} + R_{3}} + R_{1}$
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$R_{\mathrm{ges}} = \dfrac{R_{2} \cdot R_{3}}{R_{2} + R_{3}} + R_{1}$
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</fragment>
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@@ -71,7 +71,7 @@ Hier addiert man zuerst $R_1$ und $R_2$ um mit diesem Ergebnis die Parallelschal
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</fragment>
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<fragment>
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$R_{G} = \dfrac{(R_{1} + R_{2}) \cdot R_{3}} {(R_{1} + R_{2}) + R_{3}}$
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$R_{\mathrm{ges}} = \dfrac{(R_{1} + R_{2}) \cdot R_{3}} {(R_{1} + R_{2}) + R_{3}}$
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</fragment>
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@@ -15,13 +15,13 @@ Kirchhoff'sche Gesetze
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* gesucht: $U$
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<fragment>
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$R_{ges} = R_1 + \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = \qty{10}{\kilo\ohm} + \frac{\qty{10}{\kilo\ohm} \cdot \qty{10}{\kilo\ohm}}{\qty{10}{\kilo\ohm} + \qty{10}{\kilo\ohm}} = \qty{15}{\kilo\ohm}$
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||||
$R_{\mathrm{ges}} = R_1 + \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = \qty{10}{\kilo\ohm} + \frac{\qty{10}{\kilo\ohm} \cdot \qty{10}{\kilo\ohm}}{\qty{10}{\kilo\ohm} + \qty{10}{\kilo\ohm}} = \qty{15}{\kilo\ohm}$
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</fragment>
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<fragment>
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$I = I_2 + I_3 = \qty{1}{\milli\ampere} + \qty{1}{\milli\ampere} = \qty{2}{\milli\ampere}$
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</fragment>
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<fragment>
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$U = R_{ges} \cdot I_{ges} = \qty{15}{\kilo\ohm} \cdot \qty{2}{\milli\ampere} = \qty{30}{\volt}$
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$U = R_{\mathrm{ges}} \cdot I = \qty{15}{\kilo\ohm} \cdot \qty{2}{\milli\ampere} = \qty{30}{\volt}$
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</fragment>
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[question:AD107]
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@@ -32,10 +32,10 @@ $U = R_{ges} \cdot I_{ges} = \qty{15}{\kilo\ohm} \cdot \qty{2}{\milli\ampere} =
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* gesucht: $I_3$
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<fragment>
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$R_{ges} = R_1 + \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = \qty{10}{\kilo\ohm} + \frac{\qty{10}{\kilo\ohm} \cdot \qty{10}{\kilo\ohm}}{\qty{10}{\kilo\ohm} + \qty{10}{\kilo\ohm}} = \qty{15}{\kilo\ohm}$
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||||
$R_{\mathrm{ges}} = R_1 + \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = \qty{10}{\kilo\ohm} + \frac{\qty{10}{\kilo\ohm} \cdot \qty{10}{\kilo\ohm}}{\qty{10}{\kilo\ohm} + \qty{10}{\kilo\ohm}} = \qty{15}{\kilo\ohm}$
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</fragment>
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<fragment>
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$\frac{U_3}{U} = \frac{R_{2\parallel 3}}{R_{ges}} \Rightarrow U_3 = \frac{R_{2\parallel 3}}{R_{ges}} \cdot U = \frac{\qty{5}{\kilo\ohm}}{\qty{15}{\kilo\ohm}} \cdot \qty{15}{\volt} = \qty{5}{\volt}$
|
||||
$\frac{U_3}{U} = \frac{R_{2\parallel 3}}{R_{\mathrm{ges}}} \Rightarrow U_3 = \frac{R_{2\parallel 3}}{R_{\mathrm{ges}}} \cdot U = \frac{\qty{5}{\kilo\ohm}}{\qty{15}{\kilo\ohm}} \cdot \qty{15}{\volt} = \qty{5}{\volt}$
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</fragment>
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<fragment>
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$I_3 = \frac{U_3}{R_3} = \frac{\qty{5}{\volt}}{\qty{10}{\kilo\ohm}} = \qty{0,5}{\milli\ampere}$
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@@ -49,7 +49,7 @@ $I_3 = \frac{U_3}{R_3} = \frac{\qty{5}{\volt}}{\qty{10}{\kilo\ohm}} = \qty{0,5}{
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* gesucht: $P_2$
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<fragment>
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$\frac{U_2}{U} = \frac{R_{2\parallel 3}}{R_{ges}} \Rightarrow U_2 = \frac{R_{2\parallel 3}}{R_{ges}} \cdot U = \frac{\qty{5}{\kilo\ohm}}{\qty{15}{\kilo\ohm}} \cdot \qty{15}{\volt} = \qty{5}{\volt}$
|
||||
$\frac{U_2}{U} = \frac{R_{2\parallel 3}}{R_{\mathrm{ges}}} \Rightarrow U_2 = \frac{R_{2\parallel 3}}{R_{\mathrm{ges}}} \cdot U = \frac{\qty{5}{\kilo\ohm}}{\qty{15}{\kilo\ohm}} \cdot \qty{15}{\volt} = \qty{5}{\volt}$
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</fragment>
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<fragment>
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$P_2 = \frac{U_2^2}{R_2} = \frac{(\qty{5}{\volt})^2}{\qty{10}{\kilo\ohm}} = \qty{2,5}{\milli\watt}$
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@@ -68,15 +68,15 @@ $P_2 = \frac{U_2^2}{R_2} = \frac{(\qty{5}{\volt})^2}{\qty{10}{\kilo\ohm}} = \qty
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</right>
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<fragment>
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$R_{ges} = R_1 + \frac{R_2 \cdot (R_3 + R)}{R_2 + (R_3 + R)}$
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$R_{\mathrm{ges}} = R_1 + \frac{R_2 \cdot (R_3 + R)}{R_2 + (R_3 + R)}$
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</fragment>
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<fragment>
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Bei $R = \qty{0}{\ohm}$:
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$R_{ges} = \qty{200}{\ohm} + \frac{\qty{100}{\ohm} \cdot (\qty{200}{\ohm} + \qty{0}{\ohm})}{\qty{100}{\ohm} + \qty{200}{\ohm} + \qty{0}{\ohm}} \approx \qty{267}{\ohm}$
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||||
$R_{\mathrm{ges}} = \qty{200}{\ohm} + \frac{\qty{100}{\ohm} \cdot (\qty{200}{\ohm} + \qty{0}{\ohm})}{\qty{100}{\ohm} + \qty{200}{\ohm} + \qty{0}{\ohm}} \approx \qty{267}{\ohm}$
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</fragment>
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<fragment>
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Bei $R = \qty{1}{\kilo\ohm}$:
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$R_{ges} = \qty{200}{\ohm} + \frac{\qty{100}{\ohm} \cdot (\qty{200}{\ohm} + \qty{1}{\kilo\ohm})}{\qty{100}{\ohm} + \qty{200}{\ohm} + \qty{1}{\kilo\ohm}} \approx \qty{292}{\ohm}$
|
||||
$R_{\mathrm{ges}} = \qty{200}{\ohm} + \frac{\qty{100}{\ohm} \cdot (\qty{200}{\ohm} + \qty{1}{\kilo\ohm})}{\qty{100}{\ohm} + \qty{200}{\ohm} +\qty{1}{\kilo\ohm}} \approx \qty{292}{\ohm}$
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</fragment>
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[question:AD110]
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@@ -84,10 +84,10 @@ $R_{ges} = \qty{200}{\ohm} + \frac{\qty{100}{\ohm} \cdot (\qty{200}{\ohm} + \qty
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#### Lösungsweg
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* gegeben: $R_1 = R_3 = \qty{2,2}{\kilo\ohm}$
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* gegeben: $R_2 = R_4 = \qty{220}{\ohm}$
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* gesucht: $R_{ges}$
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* gesucht: $R_{\mathrm{ges}}$
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<fragment>
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$\begin{split} R_{ges} &= \frac{(R_1 + R_2) \cdot (R_3 + R_4)}{(R_1 + R_2) + (R_3 + R_4)}\\ &= \frac{(\qty{2,2}{\kilo\ohm} + \qty{220}{\ohm}) \cdot (\qty{2,2}{\kilo\ohm} + \qty{220}{\ohm})}{\qty{2,2}{\kilo\ohm} + \qty{220}{\ohm} + \qty{2,2}{\kilo\ohm} + \qty{220}\ohm}\\ &= \qty{1210}{\ohm}\end{split}$
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||||
$\begin{split} R_{\mathrm{ges}} &= \frac{(R_1 + R_2) \cdot (R_3 + R_4)}{(R_1 + R_2) + (R_3 + R_4)}\\ &= \frac{(\qty{2,2}{\kilo\ohm} + \qty{220}{\ohm}) \cdot (\qty{2,2}{\kilo\ohm} + \qty{220}{\ohm})}{\qty{2,2}{\kilo\ohm} + \qty{220}{\ohm} + \qty{2,2}{\kilo\ohm} + \qty{220}\ohm}\\ &= \qty{1210}{\ohm}\end{split}$
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</fragment>
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---
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[question:AD114]
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@@ -104,10 +104,10 @@ $\begin{split} R_{ges} &= \frac{(R_1 + R_2) \cdot (R_3 + R_4)}{(R_1 + R_2) + (R_
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</right>
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<fragment>
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$\frac{U_2}{U_B} = \frac{R_{2\parallel L}}{R_{ges}}$
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$\frac{U_2}{U_B} = \frac{R_{2\parallel L}}{R_{\mathrm{ges}}}$
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||||
$R_{2\parallel L} = \frac{R_2 \cdot R_L}{R_2 + R_L} = \frac{\qty{2,2}{\kilo\ohm} \cdot \qty{8,2}{\kilo\ohm}}{\qty{2,2}{\kilo\ohm} + \qty{8,2}{\kilo\ohm}} = \qty{1,74}{\kilo\ohm}$
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||||
$R_{ges} = R_1 + R_{2\parallel L} = \qty{10}{\kilo\ohm} + \qty{1,74}{\kilo\ohm} = \qty{11,74}{\kilo\ohm}$
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||||
$R_{\mathrm{ges}} = R_1 + R_{2\parallel L} = \qty{10}{\kilo\ohm} + \qty{1,74}{\kilo\ohm} = \qty{11,74}{\kilo\ohm}$
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</fragment>
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<fragment>
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||||
$U_2 = \frac{R_{2\parallel L}}{R_{ges}} \cdot U_B = \frac{\qty{1,74}{\kilo\ohm}}{\qty{11,74}{\kilo\ohm}} \cdot \qty{12}{\volt} \approx \qty{1,8}{\volt}$
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||||
$U_2 = \frac{R_{2\parallel L}}{R_{\mathrm{ges}}} \cdot U_B = \frac{\qty{1,74}{\kilo\ohm}}{\qty{11,74}{\kilo\ohm}} \cdot \qty{12}{\volt} \approx \qty{1,8}{\volt}$
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</fragment>
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@@ -1,7 +1,7 @@
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<left>
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[photo:291:a_Spule mit Anzapfungen:Spule mit 14 Anzapfungen in einem selbstgebauten Antennenanpassgerät]
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$L_\text{G} = L_1 + L_2 + L_3 + ... + L_n$
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$L_{\mathrm{ges}} = L_1 + L_2 + L_3 + \dots$
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</left>
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<right>
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* Bei einer Spule in Reihenschaltung addieren sich die Induktivitäten
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@@ -13,4 +13,4 @@ $L_\text{G} = L_1 + L_2 + L_3 + ... + L_n$
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#### Lösungsweg
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$L_{ges} = \qty{2200}{\nano\henry} + \qty{0,033}{\milli\henry} + \qty{150}{\micro\henry} = \qty{185,2}{\micro\henry}1$
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$L_{\mathrm{ges}} = \qty{2200}{\nano\henry} + \qty{0,033}{\milli\henry} + \qty{150}{\micro\henry} = \qty{185,2}{\micro\henry}1$
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Reference in New Issue
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