Minor fixes in sections Dezibel 1 and 2

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contents/sections/dezibel_1.md

@@ -1,22 +1,22 @@
-An vielen Stellen der Hochfrequenztechnik spielen Leistungsverhältnisse eine wichtige Rolle, etwa beim Gewinn einer Antenne oder eines Verstärkers, oder bei der Dämpfung eines Kabels. In der Klasse N haben wir diese Zusammenhänge noch in Form einfacher Faktoren kennengelernt, zum Beispiel: „Die Antenne hat einen Gewinn von Faktor 2“.
+An vielen Stellen der Hochfrequenztechnik spielen Leistungsverhältnisse eine wichtige Rolle, etwa beim Gewinn einer Antenne oder eines Verstärkers, oder bei der Dämpfung eines Kabels. In der Klasse N haben wir diese Zusammenhänge noch in Form einfacher Faktoren kennengelernt, zum Beispiel: „Die Antenne hat einen Gewinn von Faktor $2$“.
 
-Diese Verhältnisse können sehr große oder sehr kleine Zahlenwerte annehmen. So besitzt beispielsweise ein Kurzwellenempfänger einen Gesamtverstärkungsfaktor von 1 000 000 000 000, also eine Eins mit zwölf Nullen. Mit solchen Zahlen wird das Rechnen schnell unübersichtlich, und man beginnt unweigerlich, die Nullen zu zählen.
+Diese Verhältnisse können sehr große oder sehr kleine Zahlenwerte annehmen. So besitzt beispielsweise ein Kurzwellenempfänger einen Gesamtverstärkungsfaktor von $\num{1000000000000}$, also eine Eins mit zwölf Nullen. Mit solchen Zahlen wird das Rechnen schnell unübersichtlich, und man beginnt unweigerlich, die Nullen zu zählen.
 
-Vereinfacht gesagt gibt es jedoch ein mathematisches Hilfsmittel für dieses „Zählen von Nullen“: die Logarithmen. Mit ihrer Hilfe lassen sich außerdem Multiplikationen in Additionen und Divisionen in Subtraktionen umwandeln. Das macht das Rechnen mit Großen Zahlen sehr einfach. 
+Vereinfacht gesagt gibt es jedoch ein mathematisches Hilfsmittel für dieses „Zählen von Nullen“: die Logarithmen. Mit ihrer Hilfe lassen sich außerdem Multiplikationen in Additionen und Divisionen in Subtraktionen umwandeln. Das macht das Rechnen mit großen Zahlen sehr einfach. 
 
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 Es hat sich daher eingebürgert, Leistungsverhältnisse auf einer logarithmischen Skala anzugeben.
-Das Logarithmieren ist die Umkehroperation des Potenzierens. Im Amateurfunk nutzen wir in der Regel den dekadischen Logarithmus ("Zehnerlogarithmen") zur Basis 10:
+Das Logarithmieren ist die Umkehroperation des Potenzierens. Im Amateurfunk nutzen wir in der Regel den dekadischen Logarithmus ("Zehnerlogarithmen") zur Basis $10$:
 
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 $a =\log_{10} (b)$, falls $b=10^{a}$
 
-Der Logarithmus von 100 beträgt $\log_{10}(100)=2$, da $10^2 = 100$ ist. Anders ausgedrückt: Die Zahl 100 besitzt zwei Nullen.
+Der Logarithmus von $100$ beträgt $\log_{10}(100)=2$, da $10^2 = 100$ ist. Anders ausgedrückt: Die Zahl $100$ besitzt zwei Nullen.
 
 <warning>
-Ein technisch-wissenschaftlicher Taschenrechner bietet neben dem dekadischen Logarithmus (Beschriftung lg oder log) auch den natürlichen Logarithmus *ln* an, der als Basis die Eulersche Zahl *e=2,7182818…* hat. Nicht verwechseln!
+Ein technisch-wissenschaftlicher Taschenrechner bietet neben dem dekadischen Logarithmus (Beschriftung $\lg$ oder $\log$) auch den natürlichen Logarithmus *$\ln$* an, der als Basis die Eulersche Zahl *$e=\num{2,7182818}\dots$* hat. Nicht verwechseln!
 </warning>	
 
 <margin>
@@ -50,10 +50,10 @@ Wobei $P_1$ der Eingangsleistung entspricht und $P_2$ der Ausgangsleistung. Nehm
 
 $g = 10\cdot \log_{10}\left(\frac{\qty{100}{\watt}}{\qty{50}{\watt}}\right)\unit{\dB} = 10\cdot \log_{10}\left(2\right)\unit{\dB} = 10\cdot \qty{0.301}{\dB} \approx \qty{3}{\dB} $
 
-Für die Klasse E ist es zunächst ausreichend, den Dezibelwert für den Leistungsfaktor 2 zu kennen. Die Formelsammlung enthält dazu eine Tabelle, die auch in Tabelle [ref:e_dezibel_leistungsfaktoren] dargestellt ist. Daraus lässt sich ablesen, dass ein Leistungsfaktor von 2 einem Dezibelwert von $\qty{3}{\dB}$ entspricht. Das ausführliche Rechnen mit Dezibelwerten wird erst in der Klasse A behandelt.
+Für die Klasse E ist es zunächst ausreichend, den Dezibelwert für den Leistungsfaktor $2$ zu kennen. Die Formelsammlung enthält dazu eine Tabelle, die auch in Tabelle [ref:e_dezibel_leistungsfaktoren] dargestellt ist. Daraus lässt sich ablesen, dass ein Leistungsfaktor von $2$ einem Dezibelwert von $\qty{3}{\dB}$ entspricht. Das ausführliche Rechnen mit Dezibelwerten wird erst in der Klasse A behandelt.
 
 <tip>
-Ganz ohne Taschenrechner lassen sich Dezibelwerte abschätzen, die auf "0" enden: Einfach die letzte Null zuhalten, die Ziffer gibt dann die Anzahl der Nullen des Verhältnisfaktors an. Beispiel: $\qty{30}{\dB} \rightarrow 3 \rightarrow 3~\text{Nullen} \rightarrow \text{Verhältnisfaktor}~1000$!
+Ganz ohne Taschenrechner lassen sich Dezibelwerte abschätzen, die auf "$0$" enden: Einfach die letzte Null zuhalten, die Ziffer gibt dann die Anzahl der Nullen des Verhältnisfaktors an. Beispiel: $\qty{30}{\dB} \rightarrow 3 \rightarrow 3~\text{Nullen} \rightarrow \text{Verhältnisfaktor}~1000$!
 </tip>
 
 [question:EA107]

contents/sections/dezibel_2.md

@@ -24,7 +24,7 @@ $g = 10\cdot \log_{10}\left(\frac{P_2}{P_1}\right)\unit{\dB}$
 
 Möchte man aus einem $\unit{\dB}$-Wert einen Verhältnisfaktor ermitteln, so muss die Formel umgestellt werden: 
 
-$\begin{align} g &= 10 \cdot \log_{10}\left( x \right) \unit{\dB} & \quad\quad\quad &|: \qty{10}{\dB} \\ \frac{g}{\qty{10}{\dB}} &= \log_{10}\left( x \right) &~&| \quad 10^{x}\\ x &= 10^{\frac{g}{\qty{10}{\dB}}} &~&~\end{align}$
+$\begin{align*} g &= 10 \cdot \log_{10}\left( x \right) \unit{\dB} & \quad\quad\quad &|: \qty{10}{\dB} \\ \frac{g}{\qty{10}{\dB}} &= \log_{10}\left( x \right) &~&| \quad 10^{x}\\ x &= 10^{\frac{g}{\qty{10}{\dB}}} &~&~\end{align*}$
 
 Mit diesen beiden Formeln können wir also leicht zwischen $\unit{\dB}$-Angaben und Verhältnisfaktoren umrechnen. Versuche nun die zwei folgenden Fragen zu berechnen: 
 
@@ -34,7 +34,7 @@ Mit diesen beiden Formeln können wir also leicht zwischen $\unit{\dB}$-Angaben
 [question:AA106]
 
 <tip>
-In der Klasse E haben wir bereits folgenden Trick kennengelernt: Ganz ohne Taschenrechner lassen sich Dezibelwerte abschätzen, die auf "0" enden: Einfach die letzte Null zuhalten, die Ziffer gibt dann die Anzahl der Nullen des Verhältnisfaktors an. Beispiel: $\qty{30}{\dB} \rightarrow 3 \rightarrow 3~\text{Nullen} \rightarrow \text{Verhältnisfaktor}~1000$!
+In der Klasse E haben wir bereits folgenden Trick kennengelernt: Ganz ohne Taschenrechner lassen sich Dezibelwerte abschätzen, die auf "$0$" enden: Einfach die letzte Null zuhalten, die Ziffer gibt dann die Anzahl der Nullen des Verhältnisfaktors an. Beispiel: $\qty{30}{\dB} \rightarrow 3 \rightarrow 3~\text{Nullen} \rightarrow \text{Verhältnisfaktor}~1000$!
 
 Auch anders herum lässt es sich leicht berechnen: Eins mit $12$ Nullen ($\num{1000000000000}$) in $\unit{\dB}$ ist einfach die Anzahl der Nullen, also $12$, multipliziert mit $10$. Es ergibt sich so ein Verstärkungsfaktor von $\qty{120}{\dB}$.
 
@@ -80,7 +80,7 @@ Die folgenden Fragen lassen sich mit Hilfe der Formel aus der Formelsammlung und
 
 Warum macht man das Ganze überhaupt und gibt absolute Leistungen in $\unit{\dBm}$ und $\unit{\dBW}$ an? Wie bereits in der Klasse E angedeutet, dient die Verwendung von Dezibel vor allem dazu, Rechnungen zu vereinfachen. Durch die Darstellung von Verstärkungen und Dämpfungen in Dezibel lassen sich komplette Signalketten sehr einfach durch Addition und Subtraktion überschlagen, ohne auf umständliche Multiplikationen und Divisionen zurückgreifen zu müssen.
 
-Abbildung [ref:e_signalkette] zeigt eine solche Signalkette mit drei Verstärkerstufen. Das Eingangssignal besitzt eine Leistung von $\qty{1}{\milli\watt}$, was $\qty{0}{\dBm}$ entspricht. Durch die drei Verstärkerstufen wird das Signal insgesamt auf $\qty{60}{\dBm}$ verstärkt (also $1000000\cdot \qty{1}{\milli\watt}$), was einer Leistung von $\qty{1000}{\watt}$ entspricht.
+Abbildung [ref:e_signalkette] zeigt eine solche Signalkette mit drei Verstärkerstufen. Das Eingangssignal besitzt eine Leistung von $\qty{1}{\milli\watt}$, was $\qty{0}{\dBm}$ entspricht. Durch die drei Verstärkerstufen wird das Signal insgesamt auf $\qty{60}{\dBm}$ verstärkt (also $\num{1000000}\cdot \qty{1}{\milli\watt}$), was einer Leistung von $\qty{1000}{\watt}$ entspricht.
 
 Abbildung [ref:e_signalkette_2] zeigt ein weiteres Beispiel einer Signalkette, bei der zusätzlich ein Dämpfungsglied mit einer Dämpfung von $\qty{20}{\dB}$ eingesetzt wird, was einer Verstärkung von $\qty{-20}{\dB}$ entspricht. Das Eingangssignal besitzt eine Leistung von $\qty{1}{\milli\watt}$, also $\qty{0}{\dBm}$. Durch die erste Verstärkerstufe wird das Signal auf $\qty{10}{\dBm}$ angehoben. Anschließend wird es durch das Dämpfungsglied auf $\qty{-10}{\dBm}$ abgeschwächt und schließlich durch die zweite Verstärkerstufe wieder auf $\qty{0}{\dBm}$ verstärkt, was wiederum $\qty{1}{\milli\watt}$ entspricht.
 
@@ -122,7 +122,7 @@ $\begin{split} g &= 10 \cdot \log_{10}\left(\left(\frac{U_1}{U_2}\right)^2\right
 
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-Daher berechnen wir ein Verhältnis *a* zweier Spannungen $U_1$ und $U_2$, indem wir den Logarithmus des Verhältnisses nicht mit dem Faktor $10$, sondern mit dem Faktor $20$ multiplizieren. Diese Formel finden wir auch in der Formelsammlung.
+Daher berechnen wir ein Verhältnis *$a$* zweier Spannungen $U_1$ und $U_2$, indem wir den Logarithmus des Verhältnisses nicht mit dem Faktor $10$, sondern mit dem Faktor $20$ multiplizieren. Diese Formel finden wir auch in der Formelsammlung.
 
 [question:AA111]
 
@@ -145,7 +145,7 @@ Achtung, hier ist $\unit{\dB(\micro\volt\per\meter)}$ gemeint und nicht $\unit{(
 [question:AA112]
 
 <tip>
-Auch bei Spannungen kann man vieles im Kopf rechnen, denn die Tabelle aus der Formelsammlung:
+Auch bei Spannungen kann man vieles mithilfe der Tabelle aus der Formelsammlung im Kopf rechnen:
 
 | c:dB | c:≈ Spannungsverhältnis |
 | $-20$ | $\num{0,1}$ |