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## Grenzfrequenz
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Bei Hoch- und Tiefpässen gilt für die Grenzfrequenz
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<left>
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Bei RL-Gliedern
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$R = X_\text{L}$
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$f_\text{g} = \frac{R}{2 \pi \cdot L}$
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</left>
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<right>
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Bei RC-Gliedern
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$R = X_\text{C}$
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$f_\text{g} = \frac{1}{2 \pi \cdot R \cdot C}$
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</right>
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[question:AD201]
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#### Lösungsweg
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* gegeben: $R = \qty{4,7}{\kilo\ohm}$
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* gegeben: $C = \qty{2,2}{\nano\farad}$
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* gesucht: $f_\text{g}$
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<fragment>
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$f_\text{g} = \frac{1}{2 \pi \cdot R \cdot C} = \frac{1}{2 \pi \cdot \qty{4,7}{\kilo\ohm} \cdot \qty{2,2}{\nano\farad}} \approx \qty{15,4}{\kilo\hertz}$
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</fragment>
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[question:AD202]
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#### Lösungsweg
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* gegeben: $R = \qty{10}{\kilo\ohm}$
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* gegeben: $C = \qty{47}{\nano\farad}$
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* gesucht: $f_\text{g}$
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<fragment>
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$f_\text{g} = \frac{1}{2 \pi \cdot R \cdot C} = \frac{1}{2 \pi \cdot \qty{10}{\kilo\ohm} \cdot \qty{47}{\nano\farad}} \approx \qty{339}{\hertz}$
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</fragment>
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[question:AD203]
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#### Lösungsweg
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* gegeben: $R_1 = \qty{4,7}{\kilo\ohm}$
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* gegeben: $C_1 = \qty{6,8}{\nano\farad}$
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* gesucht: $f_\text{g}$
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<fragment>
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$C_2$ und alle weiteren Angaben sind für den Tiefpass uninteressant.
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</fragment>
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$f_\text{g} = \frac{1}{2 \pi \cdot R_1 \cdot C_1} = \frac{1}{2 \pi \cdot \qty{4,7}{\kilo\ohm} \cdot \qty{6,8}{\nano\farad}} \approx \qty{5}{\kilo\hertz}$
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</fragment>
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## Resonanzfrequenz
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* Parallel- oder Reihenschaltung von Spule und Kondensator $\rightarrow$ Schwingkreis
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* Hohe Frequenzen $\rightarrow$ hoher Widerstand an Spule
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* Niedrige Frequenzen $\rightarrow$ hoher Widerstand an Kondensator
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* Es gibt eine Frequenz, bei der Spule und Kondensator den gleichen Widerstand haben $\rightarrow$ *Resonanzfrequenz*
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[question:AD206]
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## Parallelschwingkreis
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[picture:233:a_schwingkreis_parallelschwingkreis:Parallelschwingkreis und Darstellung der Impedanz gegenüber der Frequenz]
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* Ideale Bauelemente laden sich ständig um
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* Theoretisch ist die Impedanz bei Resonanzfrequenz unendlich hoch
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* Praktisch bestimmt das Bauteil mit dem geringsten Widerstand die Gesamtimpedanz
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* Bei Frequenzen über und unter der Resonanzfrequenz hat der Parallelschwingkreis eine geringere Impedanz
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## Reihenschwingkreis
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[picture:230:a_schwingkreis_reihenschwingkreis:Reihenschwingkreis und Darstellung der Impedanz gegenüber der Frequenz]
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* Oder Serienschwingkreis
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* Theoretisch ist die Impedanz bei Resonanzfrequenz $\qty{0}{\ohm}$
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* Praktisch wird die Impedanz durch den ohmschen Widerstand bestimmt
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* Bei Frequenzen über und unter der Resonanzfrequenz hat der Reihenschwingkreis eine höhere Impedanz
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[question:AD207]
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[question:AD204]
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## Resonanzfall
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Für Parallel- und Reihenschwingkreis:
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$X_\text{C} = X_\text{L}$
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Impedanzen sind gleich groß.
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Resonanzfrequenz mit Thomsonsche Schwingkreisformel:
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$f_0 = \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}$
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</fragment>
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<note>
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William Thomson, später Lord Kelvin, in 1853
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</note>
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[question:AD208]
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#### Lösungsweg
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* gegeben: $L = \qty{1,2}{\micro\henry}$
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* gegeben: $C = \qty{6,8}{\pico\farad}$
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* gegeben: $R = \qty{10}{\ohm}$
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* gesucht: $f_0$
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<fragment>
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$\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{\qty{1,2}{\micro\henry} \cdot \qty{6,8}{\pico\farad}}} \approx \qty{55,7}{\mega\hertz} \end{split}$
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</fragment>
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<fragment>
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Widerstand $R$ wird zur Berechnung nicht benötigt.
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</fragment>
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[question:AD209]
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#### Lösungsweg
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* gegeben: $L = \qty{10}{\micro\henry}$
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* gegeben: $C = \qty{1}{\nano\farad}$
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* gesucht: $f_0$
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<fragment>
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$\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{\qty{10}{\micro\henry} \cdot \qty{1}{\nano\farad}}} \approx \qty{1,592}{\mega\hertz} \end{split}$
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</fragment>
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[question:AD210]
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#### Lösungsweg
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* gegeben: $L = \qty{100}{\micro\henry}$
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* gegeben: $C = \qty{0,01}{\micro\farad}$
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* gesucht: $f_0$
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<fragment>
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$\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{\qty{100}{\micro\henry} \cdot \qty{0,01}{\micro\farad}}} \approx \qty{159}{\kilo\hertz} \end{split}$
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</fragment>
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[question:AD211]
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#### Lösungsweg
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* gegeben: $L = \qty{2,2}{\micro\henry}$
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* gegeben: $C = \qty{56}{\pico\farad}$
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* gesucht: $f_0$
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<fragment>
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$\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{\qty{2,2}{\micro\henry} \cdot \qty{56}{\pico\farad}}} \approx \qty{14,34}{\mega\hertz} \end{split}$
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</fragment>
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[question:AD212]
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--- style="font-size: 0.7em;"
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#### Lösungsweg
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* gegeben: $C_1 = \qty{0,1}{\nano\farad}$
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* gegeben: $C_2 = \qty{1,5}{\nano\farad}$
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* gegeben: $C_3 = \qty{220}{\pico\farad}$
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* gegeben: $L = \qty{1,2}{\milli\henry}$
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* gesucht: $f_0$
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<fragment>
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$C = C_1 + C_2 + C_3 = \qty{0,1}{\nano\farad} + \qty{1,5}{\nano\farad} + \qty{220}{\pico\farad} = \qty{1,82}{\nano\farad}$
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</fragment>
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<fragment>
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$\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{\qty{1,2}{\milli\henry} \cdot \qty{1,82}{\nano\farad}}} \approx \qty{107,7}{\kilo\hertz} \end{split}$
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</fragment>
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### Verändern der Resonanzfrequenz
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* Größere Spule oder Kondensator $\rightarrow$ kleinere Resonanzfrequenz
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* Kleinere Spule oder Kondensator $\rightarrow$ größere Resonanzfrequenz
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<fragment>
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Induktivität vergrößern
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* Vergrößern der Windungszahl
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* Zusammenschieben
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* Einführen eines Ferritkerns
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</fragment>
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[question:AD213]
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[question:AD214]
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[question:AD215]
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[question:AD216]
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[question:AD217]
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### Spannungsgesteuerter Schwingkreis
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[picture:752:a_schwingkreis_potentiometer:Veränderung der Kapazität durch einen Varicap]
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* Varicap wird durch eine Steuerspannung am Widerstandsspannungsteiler verändert
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* Kleinere Spannung am Varicap $\rightarrow$ kleinere Grenzschicht im Varicap $\rightarrow$ größere Kapazität
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* In Reihe geschaltete Kondensatoren $\rightarrow$ Kapazität wird kleiner $\rightarrow$ Resonanzfrequenz steigt
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[question:AD218]
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--- style="font-size: smaller;"
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## Bandpassfilter
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[picture:785:a_schwingkreis_bandpass:Bandpassfilter aus mehreren Schwingkreisen]
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* Kombination aus Parallel- und Reihenschwingkreisen
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* Lässt einen bestimmten Frequenzbereich passieren
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* Parallelschwingkreise wie hochohmige Widerstände
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* Reihenschwingkreis wie niederohmiger Widerstand
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[question:AD205]
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## Bandbreite
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* Große Abhängigkeit vom ohmschen Widerstand
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* In Angabe von dB auf einen Referenzwert des Filters
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* Z.B. *Bandbreite* bei *$\qty{-3}{\dB}$-Wert*
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* Halbe Leistung eines Signals kann noch das Filter passieren
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* Oder die $\num{0,7}$-fache Signalspannung
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[question:AD219]
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[question:AD220]
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### Übliche Bandbreiten
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* Schmalbandig mit $\qty{500}{\hertz}$ für Telegrafie (CW)
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* Breitbandig mit $\qty{2,7}{\kilo\hertz}$ für Sprachmodulation (SSB)
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[question:AD221]
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[question:AD222]
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## Güte eines Schwingkreises
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* Auch Q-Faktor
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* Kennzeichen für Energieverlust
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* Verhältnis der Blindwiderstände zum ohmschen Widerstand im Resonanzfall ($X_\text{L} = X_\text{C}$)
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<fragment>
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<left>
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Reihenschwingkreis
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$Q = \frac{f_0}{B} = \frac{X_\text{L}}{R_\text{S}}$
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</left>
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<right>
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Parallelschwingkreis
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$Q = \frac{f_0}{B} = \frac{R_\text{P}}{X_\text{L}}$
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</right>
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</fragment>
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[question:AD225]
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--- style="font-size: 0.7em;"
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#### Lösungsweg
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<left>
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* gegeben: $L = \qty{100}{\micro\henry}$
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* gegeben: $C = \qty{0,01}{\micro\farad}$
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</left>
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<right>
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* gegeben: $R_\text{S} = \qty{10}{\ohm}$
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* gesucht: $Q$
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</right>
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<fragment>
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Zuerst $f_0$ ausrechnen
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$\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{\qty{100}{\micro\henry} \cdot \qty{0,01}{\micro\farad}}} \approx \qty{159,2}{\kilo\hertz} \end{split}$
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|
</fragment>
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<fragment>
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Dann $B$ oder $X_\text{L}$ ausrechnen
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$\begin{split} X_\text{L} &= \omega \cdot L = 2 \pi \cdot f_0 \cdot L\\ &= 2 \pi \cdot \qty{159,2}{\kilo\hertz} \cdot \qty{100}{\micro\henry} \approx \qty{100,03}{\ohm} \end{split}$
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|
</fragment>
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<fragment>
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$Q = \frac{X_\text{L}}{R_\text{S}} = \frac{\qty{100,03}{\ohm}}{\qty{10}{\ohm}} \approx 10$
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</fragment>
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[question:AD226]
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--- style="font-size: 0.7em;"
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|
#### Lösungsweg
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<left>
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* gegeben: $L = \qty{2,2}{\micro\henry}$
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* gegeben: $C = \qty{56}{\pico\farad}$
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</left>
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<right>
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|
* gegeben: $R_\text{P} = \qty{1}{\kilo\ohm}$
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|
* gesucht: $Q$
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|
</right>
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<fragment>
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Zuerst $f_0$ ausrechnen
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$\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{\qty{2,2}{\micro\henry} \cdot \qty{56}{\pico\farad}}} \approx \qty{14,34}{\mega\hertz} \end{split}$
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|
</fragment>
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<fragment>
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|
Dann $B$ oder $X_\text{L}$ ausrechnen
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$\begin{split} X_\text{L} &= \omega \cdot L = 2 \pi \cdot f_0 \cdot L\\ &= 2 \pi \cdot \qty{14,34}{\mega\hertz} \cdot \qty{2,2}{\micro\henry} \approx \qty{198,2}{\ohm} \end{split}$
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|
</fragment>
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|
<fragment>
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|
$Q = \frac{R_\text{P}}{X_\text{L}} = \frac{\qty{1}{\kilo\ohm}}{\qty{198,2}{\ohm}} \approx 5$
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</fragment>
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### Bandbreite berechnen
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Über Resonanzfrequenz und Güte
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$Q = \frac{f_0}{B} \Rightarrow B = \frac{f_0}{Q}$
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<fragment>
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Oder eingesetzt mit der Thomsonschen Schwingkreisformel
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<left>
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Reihenschwingkreis
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$B = \frac{R_\text{S}}{2 \pi \cdot L}$
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</left>
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<right>
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Parallelschwingkreis
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$B = \frac{1}{2 \pi \cdot R_\text{P} \cdot C}$
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</right>
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</fragment>
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<note>
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Herleitung nicht gezeigt
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</note>
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[question:AD224]
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#### Lösungsweg
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* gegeben: $L = \qty{2,2}{\micro\henry}$
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|
* gegeben: $C = \qty{56}{\pico\farad}$
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* gegeben: $R_\text{P} = \qty{1}{\kilo\ohm}$
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|
* gesucht: $B$
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<fragment>
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|
$\begin{split} B &= \frac{1}{2 \pi \cdot R_\text{P} \cdot C}\\ &= \frac{1}{2 \pi \cdot \qty{1}{\kilo\ohm} \cdot \qty{56}{\pico\farad}} \approx \qty{2,84}{\mega\hertz} \end{split}$
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|
</fragment>
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[question:AD223]
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#### Lösungsweg
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* gegeben: $L = \qty{100}{\micro\henry}$
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* gegeben: $C = \qty{0,01}{\micro\farad}$
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* gegeben: $R_\text{S} = \qty{10}{\ohm}$
|
|
* gesucht: $B$
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<fragment>
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$B = \frac{R_\text{S}}{2 \pi \cdot L} = \frac{\qty{10}{\ohm}}{2 \pi \cdot \qty{100}{\micro\henry}} \approx \qty{15,9}{\kilo\hertz}$
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</fragment>
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--- style="font-size: 0.7em;" data-transition="none"
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## Kopplung
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[picture:184:a_schwingkreis_kopplung:Induktive Kopplung zweier Schwingkreise und das Spannungsdiagramm über die Frequenz]
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* Zwischen Schaltungsstufen oder Filtern werden häufig gekoppelte Schwingkreise verwendet
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* Zwei Schwingkreise induktiv oder kapazitiv aneinander gekoppelt
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* Grad der Kopplung bestimmt die gegenseitige Beeinflussung, Bandbreite und Durchlasskurve
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--- style="font-size: 0.7em;" data-transition="none"
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[picture:184:a_schwingkreis_kopplung:Induktive Kopplung zweier Schwingkreise und das Spannungsdiagramm über die Frequenz]
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* d: *lose Kopplung* $\rightarrow$ kaum gegenseitige Beeinflussung, sehr hohe Durchlassdämpfung und sehr geringe Bandbreite
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* c: *unterkritische Kopplung* $\rightarrow$ kaum gegenseitige Beeinflussung, hohe Durchlassdämpfung und geringe Bandbreite
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--- style="font-size: 0.7em;" data-transition="none"
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[picture:184:a_schwingkreis_kopplung:Induktive Kopplung zweier Schwingkreise und das Spannungsdiagramm über die Frequenz]
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* b: *kritische Kopplung* $\rightarrow$ etwas gegenseitige Beeinflussung, flache Durchlasskurve mit geringer Dämpfung und Plateau im Durchlassbereich sowie gute Bandbreite
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--- style="font-size: 0.7em;" data-transition="none"
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[picture:184:a_schwingkreis_kopplung:Induktive Kopplung zweier Schwingkreise und das Spannungsdiagramm über die Frequenz]
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* a: *überkritische Kopplung* $\rightarrow$ starke gegenseitige Beeinflussung, Änderung der Resonanzfrequenzen, große Bandbreite und Verzerrung der Durchlasskurve im Durchlassbereich mit "Dellen"
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[question:AD227]
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[question:AD228]
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[question:AD229]
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