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%TODO: Dieses Kapitel ist noch nicht abschließend bearbeitet und muss noch Überarbeitet werden!!!
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Der Verstärkungsfaktor vor Verstärkern wird meist in Dezibel ($\qty{\frac{1}{10}}{\bel}$) ausgedrückt. Dabei ist immer zu berücksichtigen, ob man die Spannungsverstärkung oder die Leistungsverstärkung eines Verstärkers betrachtet.
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*Leistung und Spannung verhalten sich nämlich quadratisch zueinander* und müssen unterschiedlich berechnet werden!
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Eine Verdoppelung der Spannung durch einen Verstärker entspricht einer Leistungsvervierfachung (bei gleicher Impedanz am Ein- und Ausgang des Verstärkers).
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Bei Betrachtung der Spannungsverstärkung eines Verstärkers können wir diese in Dezibel ($\unit{\dB}$) angeben. Hierzu müssen wir die beiden Spannungspegel im Quadrat (Ausgangspegel und Eingangspegel) zueinander ins Verhältnis setzen und dann den Zehner-Logarithmus ziehen. Wir erhalten dann das Ergebnis in Bel. Um dieses noch in Dezibel umzurechnen, muss es noch mit dem Faktor $10$ multipliziert werden.
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Um direkt die Spannungspegel in der Berechnung verwenden zu können und diese vorher nicht quadrieren zu müssen, kann man das Quadrat als Faktor $2$ aus dem Zehner-Logarithmus herausziehen.
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Daher muss das Ergebnis in diesem Fall noch mit dem Faktor $2$ multipliziert werden. Insgesamt also mit dem Faktor $10 \cdot 2 = 20$.
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<tip>
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Kurzer Exkurs in die Lograrithmen-Rechnung
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Ein Quadrat innerhalb des Logarithmus kann aus dem Logarithmus "herausgezogen" werden. Hierbei wird aus dem Quadrat der Faktor $2$. Analog verhält es sich mit höheren Potenzen. Hierbei wird die Potenz immer zum Multiplikator vor dem Logarithmus, wenn man diese aus dem Logarithmus "herauszieht".
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Beispiel: $\log(x^2) = 2 \cdot \log(x)$
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%TODO: Tip mit Berechnung von Bel und Dezibel bei Spannungs und Leistungsverhältnissen mit Erklärung warum der Faktor $2$ noch vor den Logarithmus wandert (Quadrat aus Logarithmus wird zu Faktor $2$ bei rausziehen).
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Bei Betrachtung der Leistungsverstärkung eines Verstärkers können wir diese ebenfalls in Dezibel ($\unit{\dB}$) angeben. Hierzu müssen wir die beiden Leistungspegel (Ausgangspegel und Eingangspegel) zueinander ins Verhältnis setzen und dann den Zehner-Logarithmus ziehen. Anschließend muss das Ergebnis noch mit dem Faktor $10$ multipliziert werden, um die Leistungsverstärkung in $\unit{\dB}$ zu erhalten.
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Die entsprechenden Formeln zur Berechnung der Leistungsverstärkung und Spannungsverstärkung von Verstärkern findet man auch in der Formelsammlung.
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[question:AD427]
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[question:AD428]
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Will man nun umgekehrt aus der Leistungsverstärkung in $\unit{\dB}$ das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung berechnen, so muss man zunächst den $\unit{\dB}$-Wert wieder in Bel umrechnen, indem man ihn zunächst durch den Faktor $10$ teilt. Diesen Wert muss man dann als 10er-Exponent berechnen.
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Daraus ergibt sich der Verstärkungsfaktor, der mit der Eingangsleistung multipliziert werden muss, um die Ausgangsleistung eines Verstärkers zu erhalten.
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Hierbei sollte man sich bestimmte Verhältnisse in $\unit{\dB}$ merken (siehe Formelsammlung!). Hierdurch kann die Berechnung deutlich vereinfacht werden.
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Beispiel:
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Um eine Verstärkung von $\qty{13}{\dB}$ in den Verstärkungsfaktor umzurechnen, kann man sich merken, dass $\qty{3}{\dB}$ immer einer Leistungsverdoppelung entsprechen und $\qty{10}{\dB}$ einer Leistungsverzehnfachung. Man multipliziert in diesem Fall die Verstärkungen $2$ und $10$ miteinander und erhält für $\qty{13}{\dB}$ den Verstärkungsfaktor $20$.
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<tip>
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Man kann sich bei Rechnung mit $\unit{\dB}$-Werten merken, dass eine Addition von einzelnen (bekannten) $\unit{\dB}$-Werten immer einer Multiplikation der entsprechenden Verstärkungsfaktoren entspricht.
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Beispiel:
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$\qty{3}{\dB}$ = Faktor $2$ für Leistung und Faktor $\sqrt{2}$ für Spannung
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$\qty{6}{\dB}$ = Faktor $4$ für Leistung und Faktor $\sqrt{4}$ für Spannung
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$\qty{10}{\dB}$ = Faktor $10$ für Leistung und Faktor $\sqrt{10}$ für Spannung
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$\qty{20}{\dB}$ = Faktor $100$ für Leistung und Faktor $\sqrt{100}$ für Spannung
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$\qty{26}{\dB}$ für Leistung = $\qty{20}{\dB}$ + $\qty{6}{\dB}$ = Faktor $100 \times$ Faktor $4 =$ Faktor $400$
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Damit entspricht eine Leistungsverstärkung von $\qty{26}{\dB}$ einem Leistungsverstärkungsfaktor von $400$.
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Die entsprechende Spannungsverstärkung errechnet sich zu:
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Faktor $10 \times$ Faktor $2 =$ Faktor $20$
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Alternativ: $\sqrt{400}$, wenn man den Leistungsverstärkungsfaktor zugrunde legt.
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[question:AD426] |