Mario Haustein
fca3de5b57
We do not need the equation environment. It introduces the equation numbering, which we then disable by `\nonumber`. We just need the split-environment.
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## Grenzfrequenz
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Bei Hoch- und Tiefpässen gilt für die Grenzfrequenz
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<left>
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Bei RL-Gliedern
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$R = X_L$
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$f_g = \frac{R}{2 \cdot \pi \cdot L}$
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</left>
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<right>
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Bei RC-Gliedern
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$R = X_C$
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$f_g = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot R \cdot C}$
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</right>
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[question:AD201]
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#### Lösungsweg
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* gegeben: $R = 4,7kΩ$
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* gegeben: $C = 2,2nF$
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* gesucht: $f_g$
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<fragment>
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$f_g = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot R \cdot C} = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot 4,7kΩ \cdot 2,2nF} = 15,4kHz$
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</fragment>
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[question:AD202]
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#### Lösungsweg
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* gegeben: $R = 10kΩ$
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* gegeben: $C = 47nF$
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* gesucht: $f_g$
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<fragment>
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$f_g = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot R \cdot C} = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot 10kΩ \cdot 47nF} = 339Hz$
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</fragment>
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[question:AD203]
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#### Lösungsweg
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* gegeben: $R_1 = 4,7kΩ$
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* gegeben: $C_1 = 6,8nF$
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* gesucht: $f_g$
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<fragment>
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$C_2$ und alle weiteren Angaben sind für den Tiefpass uninteressant.
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</fragment>
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<fragment>
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$f_g = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot R_1 \cdot C_1} = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot 4,7kΩ \cdot 6,8nF} \approx 5kHz$
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</fragment>
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## Resonanzfrequenz
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* Parallel- oder Reihenschaltung von Spule und Kondensator → Schwingkreis
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* Hohe Frequenzen → hoher Widerstand an Spule
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* Niedrige Frequenzen → hoher Widerstand an Kondensator
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* Es gibt eine Frequenz, bei der Spule und Kondensator den gleichen Widerstand haben → *Resonanzfrequenz*
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[question:AD206]
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## Parallelschwingkreis
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[picture:233:a_schwingkreis_parallelschwingkreis:Parallelschwingkreis und Darstellung der Impedanz gegenüber der Frequenz]
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* Ideale Bauelemente laden sich ständig um
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* Theoretisch ist die Impedanz bei Resonanzfrequenz unendlich hoch
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* Praktisch bestimmt das Bauteil mit dem geringsten Widerstand die Gesamtimpedanz
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* Bei Frequenzen über und unter der Resonanzfrequenz hat der Parallelschwingkreis eine geringere Impedanz
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## Reihenschwingkreis
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[picture:230:a_schwingkreis_reihenschwingkreis:Reihenschwingkreis und Darstellung der Impedanz gegenüber der Frequenz]
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* Oder Serienschwingkreis
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* Theoretisch ist die Impedanz bei Resonanzfrequenz 0Ω
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* Praktisch wird die Impedanz durch den ohmschen Widerstand bestimmt
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* Bei Frequenzen über und unter der Resonanzfrequenz hat der Reihenschwingkreis eine höhere Impedanz
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[question:AD207]
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[question:AD204]
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## Resonanzfall
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Für Parallel- und Reihenschwingkreis:
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$X_C = X_L$
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Impedanzen sind gleich groß.
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Resonanzfrequenz mit Thomson'sche Schwingkreisformel:
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$f_0 = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}$
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<note>
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William Thomson, später Lord Kelvin, in 1853
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</note>
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[question:AD208]
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#### Lösungsweg
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* gegeben: $L = 1,2µH$
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* gegeben: $C = 6,8pF$
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* gegeben: $R = 10Ω$
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* gesucht: $f_0$
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<fragment>
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$\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{1,2µH \cdot 6,8pF}} = 55,7MHz \end{split}$
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</fragment>
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<fragment>
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Widerstand $R$ wird zur Berechnung nicht benötigt.
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</fragment>
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[question:AD209]
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#### Lösungsweg
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* gegeben: $L = 10µH$
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* gegeben: $C = 1nF$
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* gesucht: $f_0$
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<fragment>
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$\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{10µH \cdot 1nF}} = 1,592MHz \end{split}$
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</fragment>
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[question:AD210]
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#### Lösungsweg
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* gegeben: $L = 100µH$
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* gegeben: $C = 0,01µF$
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* gesucht: $f_0$
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<fragment>
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$\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{100µH \cdot 0,01µF}} = 159kHz \end{split}$
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</fragment>
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[question:AD211]
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#### Lösungsweg
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* gegeben: $L = 2,2µH$
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* gegeben: $C = 56pF$
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* gesucht: $f_0$
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<fragment>
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$\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{2,2µH \cdot 56pF}} = 14,34MHz \end{split}$
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</fragment>
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[question:AD212]
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--- style="font-size: 0.7em;"
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#### Lösungsweg
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* gegeben: $C_1 = 0,1nF$
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* gegeben: $C_2 = 1,5nF$
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* gegeben: $C_3 = 220pF$
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* gegeben: $L = 1,2mH$
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* gesucht: $f_0$
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<fragment>
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$C = C_1 + C_2 + C_3 = 0,1nF + 1,5nF + 220pF = 1,82nF$
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</fragment>
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<fragment>
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$\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{1,2mH \cdot 1,82nF}} = 107,7kHz \end{split}$
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</fragment>
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### Verändern der Resonanzfrequenz
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* Größere Spule oder Kondensator → kleinere Resonanzfrequenz
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* Kleinere Spule oder Kondensator → größere Resonanzfrequenz
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Induktivität vergrößern
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* Vergrößern der Windungszahl
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* Zusammenschieben
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* Einführen eines Ferritkerns
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</fragment>
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[question:AD213]
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[question:AD214]
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[question:AD215]
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[question:AD216]
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[question:AD217]
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### Spannungsgesteuerter Schwingkreis
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[picture:752:a_schwingkreis_potentiometer:Veränderung der Kapazität durch einen Varicap]
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* Varicap wird durch eine Steuerspannung am Widerstandsspannungsteiler verändert
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* Kleinere Spannung am Varicap → kleinere Grenzschicht im Varicap → größere Kapazität
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* In Reihe geschaltete Kondensatoren → Kapazität steigt → Resonanzfrequenz fällt
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[question:AD218]
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--- style="font-size: smaller;"
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## Bandpassfilter
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[picture:785:a_schwingkreis_bandpass:Bandpassfilter aus mehreren Schwingkreisen]
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* Kombination aus Parallel- und Reihenschwingkreisen
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* Lässt einen bestimmten Frequenzbereich passieren
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* Parallelschwingkreise wie hochohmige Widerstände
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* Reihenschwingkreis wie niederohmiger Widerstand
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[question:AD205]
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## Bandbreite
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* Große Abhängigkeit vom ohmschen Widerstand
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* In Angabe von dB auf einen Referenzwert des Filters
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* Z.B. *Bandbreite* bei *-3dB-Wert*
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* Halbe Leistung eines Signals kann noch das Filter passieren
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* Oder die 0,7-fache Signalspannung
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[question:AD219]
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[question:AD220]
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### Übliche Bandbreiten
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* Schmalbandig mit 500 Hz für Telegrafie (CW)
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* Breitbandig mit 2,7 kHz für Sprachmodulation (SSB)
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[question:AD221]
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[question:AD222]
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## Güte eines Schwingkreises
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* Auch Q-Faktor
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* Kennzeichen für Energieverlust
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* Verhältnis der Blindwiderstände zum ohmschen Widerstand im Resonanzfall ($X_L = X_C$)
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<fragment>
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<left>
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Reihenschwingkreis
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$Q = \frac{f_0}{B} = \frac{X_L}{R_S}$
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</left>
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<right>
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Parallelschwingkreis
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$Q = \frac{f_0}{B} = \frac{R_P}{X_L}$
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</right>
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</fragment>
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[question:AD225]
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--- style="font-size: 0.7em;"
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#### Lösungsweg
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<left>
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* gegeben: $L = 100µH$
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* gegeben: $C = 0,01µF$
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</left>
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<right>
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* gegeben: $R_S = 10Ω$
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* gesucht: $Q$
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</right>
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<fragment>
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$\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{100µH \cdot 0,01µF}} = 159,2kHz \end{split}$
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</fragment>
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<fragment>
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$B$ oder $X_L$ ausrechnen
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$\begin{split} X_L &= \omega \cdot L = 2 \cdot \pi \cdot f_0 \cdot L\\ &= 2 \cdot \pi \cdot 159,2kHz \cdot 100µH = 100,03Ω \end{split}$
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</fragment>
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<fragment>
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$Q = \frac{X_L}{R_S} = \frac{100,03Ω}{10Ω} \approx 10$
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</fragment>
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[question:AD226]
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--- style="font-size: 0.7em;"
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#### Lösungsweg
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<left>
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* gegeben: $L = 2,2µH$
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* gegeben: $C = 56pF$
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</left>
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<right>
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* gegeben: $R_P = 1kΩ$
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* gesucht: $Q$
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</right>
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<fragment>
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$\begin{split} f_0 &= \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\\ &= \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{2,2µH \cdot 56pF}} = 14,34MHz \end{split}$
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</fragment>
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<fragment>
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$B$ oder $X_L$ ausrechnen
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$\begin{split} X_L &= \omega \cdot L = 2 \cdot \pi \cdot f_0 \cdot L\\ &= 2 \cdot \pi \cdot 14,34MHz \cdot 2,2µH = 198,2Ω \end{split}$
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</fragment>
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<fragment>
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$Q = \frac{R_P}{X_L} = \frac{1kΩ}{198,2Ω} \approx 5$
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</fragment>
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### Bandbreite berechnen
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Über Resonanzfrequenz und Güte
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$Q = \frac{f_0}{B} \Rightarrow B = \frac{f_0}{Q}$
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<fragment>
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Oder eingesetzt mit der Thomson'schen Schwingkreisformel
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<left>
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Reihenschwingkreis
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$B = \frac{R_S}{2\cdot \pi \cdot L}$
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</left>
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<right>
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Parallelschwingkreis
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$B = \frac{1}{2\cdot \pi \cdot R_P \cdot C}$
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</right>
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</fragment>
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<note>
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Herleitung nicht gezeigt
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</note>
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[question:AD224]
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#### Lösungsweg
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* gegeben: $L = 2,2µH$
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* gegeben: $C = 56pF$
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* gegeben: $R_P = 1kΩ$
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* gesucht: $B$
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<fragment>
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$\begin{split} B &= \frac{1}{2\cdot \pi \cdot R_P \cdot C}\\ &= \frac{1}{2\cdot \pi \cdot 1kΩ \cdot 56pF} = 2,84MHz \end{split}$
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</fragment>
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[question:AD223]
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#### Lösungsweg
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* gegeben: $L = 100µH$
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* gegeben: $C = 0,01µF$
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* gegeben: $R_S = 10Ω$
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* gesucht: $B$
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<fragment>
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$B = \frac{R_S}{2\cdot \pi \cdot L} = \frac{10Ω}{2\cdot \pi \cdot 100µH} = 15,9kHz$
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</fragment>
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--- style="font-size: 0.7em;" data-transition="none"
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## Kopplung
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[picture:184:a_schwingkreis_kopplung:Induktive Kopplung zweier Schwingkreise und das Spannungsdiagramm über die Frequenz]
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* Zwischen Schaltungsstufen oder Filtern werden häufig gekoppelte Schwingkreise verwendet
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* Zwei Schwingkreise induktiv oder kapazitiv aneinander gekoppelt
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* Grad der Kopplung bestimmt die gegenseitige Beeinflussung, Bandbreite und Durchlasskurve
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--- style="font-size: 0.7em;" data-transition="none"
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[picture:184:a_schwingkreis_kopplung:Induktive Kopplung zweier Schwingkreise und das Spannungsdiagramm über die Frequenz]
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* d: *lose Kopplung* → kaum gegenseitige Beeinflussung, sehr hohe Durchlassdämpfung und sehr geringe Bandbreite
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* c: *unterkritische Kopplung* → kaum gegenseitige Beeinflussung, hohe Durchlassdämpfung und geringe Bandbreite
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--- style="font-size: 0.7em;" data-transition="none"
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[picture:184:a_schwingkreis_kopplung:Induktive Kopplung zweier Schwingkreise und das Spannungsdiagramm über die Frequenz]
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* b: *kritische Kopplung* → etwas gegenseitige Beeinflussung, flache Durchlasskurve mit geringer Dämpfung und Plateau im Durchlassbereich sowie gute Bandbreite
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--- style="font-size: 0.7em;" data-transition="none"
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[picture:184:a_schwingkreis_kopplung:Induktive Kopplung zweier Schwingkreise und das Spannungsdiagramm über die Frequenz]
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* a: *überkritische Kopplung* → starke gegenseitige Beeinflussung, Änderung der Resonanzfrequenzen, große Bandbreite und Verzerrung der Durchlasskurve im Durchlassbereich mit "Dellen"
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[question:AD227]
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[question:AD228]
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[question:AD229]
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