50ohm-contents-dl/contents/sections/effekt_2.md

Tidigare har vi sett effekt som produkten av ström och spänning (P = U \cdot I). Här fördjupar vi oss i ämnet, bland annat genom att skriva om formler.

---

Vi tittar på kretsen i figur [ref:e_leistung_r]. Den visar hur elektrisk effekt omvandlas till värme i ett motstånd. Om storheterna P och R är kända kan vi med hjälp av effektformeln (P = U \cdot I) och Ohms lag (U = R \cdot I) bestämma spänningen U.

[picture:1013:e_leistung_r:Effekt omvandlas till värme i motståndet $R$]

---

% TODO LINK: German original linked to the formula collection (https://50ohm.de/hm).

Först löser vi ut strömmen ur Ohms lag:

\begin{align*} U &= R \cdot I &\quad\quad\quad &|~: R\\ \frac{U}{R} &= \frac{\cancel{R} \cdot I}{\cancel{R}}\\[1.5ex] I &= \frac{U}{R}.\end{align*}

Sätter vi in uttrycket för I i effektformeln får vi:

\begin{split} P &= U \cdot \frac{U}{R}\\P&=\frac{U^2}{R}.\end{split}

Vi löser ut U^2 genom att multiplicera båda sidor med R:

\begin{align*} P &= \frac{U^2}{R} &\quad\quad\quad &|~\cdot R\\ U^2 &= P \cdot R.\end{align*}

Nu vill vi bestämma spänningen U. Vi använder därför den omvända operationen till kvadrering, nämligen att dra kvadratroten. Då får vi:

\begin{align*} U^2 &= P \cdot R &\quad\quad\quad &|~\sqrt{~~}\\ U &= \sqrt{P \cdot R}.\end{align*}

Det gäller att känna igen rätt samband. Med hjälp av en formelsamling kan du alltid härleda rätt lösning.

Även för strömmen I kan sambandet mellan ström I, resistans R och effekt P härledas genom att sätta in Ohms lag i effektformeln.

Vi utgår från de två ekvationerna P = U \cdot I och U = R \cdot I. Sätter man in den andra i den första för U får man:

\begin{split} P &= R \cdot I \cdot I\\ P &= I^2 \cdot R.\end{split}

Vi löser ut I^2 genom att dela båda sidor med R:

\begin{align*} P &= I^2 \cdot R &\quad\quad\quad &|~:~R\\ I^2 &= \frac{P}{R}.\end{align*}

I sista steget drar vi roten:

\begin{align*} I^2 &= \frac{P}{R} &\quad\quad\quad &|~\sqrt{~~}\\ I &= \sqrt{\frac{P}{R}}\end{align*}

Känner man effekten P och strömmen I eller spänningen U kan man också alltid räkna ut resistansen R.

Vi känner redan:

P=\frac{U^2}{R}

Vi löser ut R genom att multiplicera båda sidor med R och sedan dela med P:

R = \frac{U^2}{P}

Å andra sidan är P = I^2 \cdot R. Vi delar båda sidor med I^2 och får det sökta uttrycket:

R = \frac{P}{I^2}

Alla samband ovan från likströmstekniken mellan effekt, ström och spänning gäller också för växelström. Då måste man dock använda effektivvärdena för ström och spänning. I ett tidigare kapitel har vi lärt oss hur man räknar ut effektivvärdet ur toppvärdet:

U_\text{eff} = \frac{\hat{U}}{\sqrt{2}}\text{ eller }\hat{U} = U_\text{eff} \cdot \sqrt{2}

Det betyder att vi med alla härledda formler nu också kan lösa uppgifter från högfrekvensvärlden – alltså växelspänning.

---

Exempel 1. Effektivvärdet är U_\text{eff} = \qty{100}{\volt}. Avslutningsresistansen är \qty{50}{\ohm} (ren verkresistans). Sök effekten i lasten.

P = \frac{U^2}{R} =\frac{(\qty{100}{\volt})^2}{\qty{50}{\ohm}} = \qty{200}{\watt}

Exempel 2. Strömmen \qty{2}{\ampere} flyter genom samma $\qty{50}{\ohm}$-last. Vi använder P = I^2 \cdot R:

P = (\qty{2}{\ampere})^2 \cdot \qty{50}{\ohm} = \qty{200}{\watt}

Exempel 3. Ett $\qty{100}{\ohm}$-motstånd har spänningen \qty{10}{\volt} över sig. Vilken effekt omsätts?

P = \frac{U^2}{R} = \frac{(\qty{10}{\volt})^2}{\qty{100}{\ohm}} = \qty{1}{\watt}

Exempel 4. Ett $\qty{10}{\kilo\ohm}$-motstånd tål högst \qty{700}{\volt} och högst \qty{1}{\watt}. Vilken är den högsta likspänning det tål? Det här kräver lite eftertanke: både en maximal spänningshållfasthet och en maximal effekt är angivna, och frågan är vilken gräns som nås först när spänningen höjs.

Vi beräknar först spänningen som ger den tillåtna effekten:

U = \sqrt{P \cdot R} = \sqrt{\qty{1}{\watt} \cdot \qty{10000}{\ohm}} = \qty{100}{\volt}

Det är alltså den högsta likspänningen.

Exempel 5. Samma räknesätt med andra värden: ett $\qty{100}{\kilo\ohm}$-motstånd som tål \qty{6}{\watt}:

U = \sqrt{P \cdot R} = \sqrt{\qty{6}{\watt} \cdot \qty{10^5}{\ohm}} \approx \qty{774,6}{\volt} \approx \qty{775}{\volt}

Exempel 6. Är resistansvärdet och den maximala belastbarheten givna och man söker högsta ström använder vi sambandet, här för \qty{120}{\ohm} och \qty{23}{\watt}:

I = \sqrt{\frac{P}{R}} = \sqrt{\frac{\qty{23}{\watt}}{\qty{120}{\ohm}}} \approx \qty{0,4378}{\ampere} \approx \qty{438}{\milli\ampere}

Exempel 7. Med ett oscilloskop mäter man topp-till-topp-spänningen över en last på \qty{1000}{\ohm}: U_\text{TT} = \qty{25}{\volt}. Toppspänningen är då \hat{U} = \qty{12,5}{\volt}. Vi beräknar först effektivvärdet:

U_\text{eff} = \frac{\hat{U}}{\sqrt{2}} = \frac{\qty{12,5}{\volt}}{\sqrt{2}} \approx \qty{8,84}{\volt}

Effektivströmmen blir (Ohms lag):

I_\text{eff} = \frac{U_\text{eff}}{R} = \frac{\qty{8,84}{\volt}}{\qty{1000}{\ohm}} \approx \qty{8,8}{\milli\ampere}

Därmed kunde också effekten räknas ut.

Exempel 8. En konstlast byggs upp av 11 lika stora motstånd, som visas i figur [ref:e_dummyload_11], parallellkopplade, och varje motstånd tål \qty{5}{\watt}. Strömmen genom varje motstånd är 1/11 av totalströmmen, så effekten i varje motstånd är också bara 1/11 av totaleffekten.

Den tillåtna totaleffekten är alltså 11 \cdot \qty{5}{\watt} =\qty{55}{\watt}.

[picture:1014:e_dummyload_11:Konstlast av 11 lika stora motstånd]