50ohm-contents-dl/contents/sections/effekt_2.md

Tidigare har vi sett effekt som produkten av ström och spänning ($P = U \cdot I$). Här fördjupar vi oss i ämnet, bland annat genom att skriva om formler.

---

Vi tittar på kretsen i figur [ref:e_leistung_r]. Den visar hur elektrisk effekt omvandlas till värme i ett motstånd. Om storheterna $P$ och $R$ är kända kan vi med hjälp av effektformeln ($P = U \cdot I$) och Ohms lag ($U = R \cdot I$) bestämma spänningen $U$.

<margin>
[picture:1013:e_leistung_r:Effekt omvandlas till värme i motståndet $R$]
</margin>

---

% TODO LINK: German original linked to the formula collection (https://50ohm.de/hm).

Först löser vi ut strömmen ur Ohms lag:

$\begin{align*} U &= R \cdot I &\quad\quad\quad &|~: R\\ \frac{U}{R} &= \frac{\cancel{R} \cdot I}{\cancel{R}}\\[1.5ex] I &= \frac{U}{R}.\end{align*}$

Sätter vi in uttrycket för $I$ i effektformeln får vi:

$\begin{split} P &= U \cdot \frac{U}{R}\\P&=\frac{U^2}{R}.\end{split}$

Vi löser ut $U^2$ genom att multiplicera båda sidor med R:

$\begin{align*} P &= \frac{U^2}{R} &\quad\quad\quad &|~\cdot R\\ U^2 &= P \cdot R.\end{align*}$

Nu vill vi bestämma spänningen $U$. Vi använder därför den omvända operationen till kvadrering, nämligen att dra kvadratroten. Då får vi:

$\begin{align*} U^2 &= P \cdot R &\quad\quad\quad &|~\sqrt{~~}\\ U &= \sqrt{P \cdot R}.\end{align*}$

Det gäller att känna igen rätt samband. Med hjälp av en formelsamling kan du alltid härleda rätt lösning.

Även för strömmen $I$ kan sambandet mellan ström $I$, resistans $R$ och effekt $P$ härledas genom att sätta in Ohms lag i effektformeln.

Vi utgår från de två ekvationerna $P = U \cdot I$ och $U = R \cdot I$. Sätter man in den andra i den första för $U$ får man:

$\begin{split} P &= R \cdot I \cdot I\\ P &= I^2 \cdot R.\end{split}$

Vi löser ut $I^2$ genom att dela båda sidor med R:

$\begin{align*} P &= I^2 \cdot R &\quad\quad\quad &|~:~R\\ I^2 &= \frac{P}{R}.\end{align*}$

I sista steget drar vi roten:

$\begin{align*} I^2 &= \frac{P}{R} &\quad\quad\quad &|~\sqrt{~~}\\ I &= \sqrt{\frac{P}{R}}\end{align*}$

Känner man effekten $P$ och strömmen $I$ eller spänningen $U$ kan man också alltid räkna ut resistansen $R$.

Vi känner redan:

$P=\frac{U^2}{R}$

Vi löser ut R genom att multiplicera båda sidor med R och sedan dela med P:

$R = \frac{U^2}{P}$

Å andra sidan är $P = I^2 \cdot R$. Vi delar båda sidor med $I^2$ och får det sökta uttrycket:

$R = \frac{P}{I^2}$

Alla samband ovan från likströmstekniken mellan effekt, ström och spänning gäller också för växelström. Då måste man dock använda effektivvärdena för ström och spänning. I ett tidigare kapitel har vi lärt oss hur man räknar ut effektivvärdet ur toppvärdet:

$U_\text{eff} = \frac{\hat{U}}{\sqrt{2}}\text{ eller }\hat{U} = U_\text{eff} \cdot \sqrt{2}$

Det betyder att vi med alla härledda formler nu också kan lösa uppgifter från högfrekvensvärlden – alltså växelspänning.

---

**Exempel 1.** Effektivvärdet är $U_\text{eff} = \qty{100}{\volt}$. Avslutningsresistansen är $\qty{50}{\ohm}$ (ren verkresistans). Sök effekten i lasten.

$P = \frac{U^2}{R} =\frac{(\qty{100}{\volt})^2}{\qty{50}{\ohm}} = \qty{200}{\watt}$

**Exempel 2.** Strömmen $\qty{2}{\ampere}$ flyter genom samma $\qty{50}{\ohm}$-last. Vi använder $P = I^2 \cdot R$:

$P = (\qty{2}{\ampere})^2 \cdot \qty{50}{\ohm} = \qty{200}{\watt}$

**Exempel 3.** Ett $\qty{100}{\ohm}$-motstånd har spänningen $\qty{10}{\volt}$ över sig. Vilken effekt omsätts?

$P = \frac{U^2}{R} = \frac{(\qty{10}{\volt})^2}{\qty{100}{\ohm}} = \qty{1}{\watt} $

**Exempel 4.** Ett $\qty{10}{\kilo\ohm}$-motstånd tål högst $\qty{700}{\volt}$ och högst $\qty{1}{\watt}$. Vilken är den högsta likspänning det tål? Det här kräver lite eftertanke: både en maximal spänningshållfasthet och en maximal effekt är angivna, och frågan är vilken gräns som nås först när spänningen höjs.

Vi beräknar först spänningen som ger den tillåtna effekten:

$U = \sqrt{P \cdot R} = \sqrt{\qty{1}{\watt} \cdot \qty{10000}{\ohm}} = \qty{100}{\volt}$

Det är alltså den högsta likspänningen.

**Exempel 5.** Samma räknesätt med andra värden: ett $\qty{100}{\kilo\ohm}$-motstånd som tål $\qty{6}{\watt}$:

$U = \sqrt{P \cdot R} = \sqrt{\qty{6}{\watt} \cdot \qty{10^5}{\ohm}} \approx \qty{774,6}{\volt} \approx \qty{775}{\volt}$

**Exempel 6.** Är resistansvärdet och den maximala belastbarheten givna och man söker högsta ström använder vi sambandet, här för $\qty{120}{\ohm}$ och $\qty{23}{\watt}$:

$I = \sqrt{\frac{P}{R}} =  \sqrt{\frac{\qty{23}{\watt}}{\qty{120}{\ohm}}} \approx \qty{0,4378}{\ampere} \approx \qty{438}{\milli\ampere}$

**Exempel 7.** Med ett oscilloskop mäter man topp-till-topp-spänningen över en last på $\qty{1000}{\ohm}$: $U_\text{TT} = \qty{25}{\volt}$. Toppspänningen är då $\hat{U} = \qty{12,5}{\volt}$. Vi beräknar först effektivvärdet:

$U_\text{eff} = \frac{\hat{U}}{\sqrt{2}} = \frac{\qty{12,5}{\volt}}{\sqrt{2}} \approx \qty{8,84}{\volt}$

Effektivströmmen blir (Ohms lag):

$I_\text{eff} = \frac{U_\text{eff}}{R} = \frac{\qty{8,84}{\volt}}{\qty{1000}{\ohm}} \approx \qty{8,8}{\milli\ampere}$

Därmed kunde också effekten räknas ut.

**Exempel 8.** En konstlast byggs upp av 11 lika stora motstånd, som visas i figur [ref:e_dummyload_11], parallellkopplade, och varje motstånd tål $\qty{5}{\watt}$. Strömmen genom varje motstånd är $1/11$ av totalströmmen, så effekten i varje motstånd är också bara $1/11$ av totaleffekten.

Den tillåtna totaleffekten är alltså $11 \cdot \qty{5}{\watt} =\qty{55}{\watt}$.

<margin>
[picture:1014:e_dummyload_11:Konstlast av 11 lika stora motstånd]
</margin>