50ohm-contents-dl/contents/slides/forkortningsfaktor_2.md

## Antennlängd och förkortningsfaktor

* Antennlängden beror på förkortningsfaktorn  
* Halvvågsdipol: halva våglängden $\times$ förkortningsfaktorn  
* Kvartsvågsstrålare: en fjärdedels våglängd $\times$ förkortningsfaktorn  
* Typiskt värde: $\num{0,95}$  

---
#### Räkneexempel
<left>
* givet: $f = \qty{14,2}{\mega\hertz}$
* givet: $k_v = 0,95$
</left>
<right>
* givet: $\frac{\lambda}{2}$-dipol
* sökt: $l_G$
</right>

<left>
<fragment>
$\begin{split}l_E &= \frac{1}{2} \cdot \frac{\lambda}{2}\\ &= \frac{1}{4} \cdot \frac{c}{f}\\ &\approx \frac{1}{4} \cdot \frac{\qty{3\cdot 10^8}{\meter\per\second}}{\qty{14,2}{\mega\hertz}}\\ &\approx \frac{1}{4} \cdot \qty{21,13}{\meter}\\ &\approx \qty{5,28}{\meter}\end{split}$
</fragment>
</left>
<right>
<fragment>
$\begin{split}k_v &= \frac{l_G}{l_E}\\ \Rightarrow l_G &= k_v \cdot l_E\\ &= 0,95 \cdot \qty{5,28}{\meter}\\ &\approx \qty{5,02}{\meter}\end{split}$
</fragment>
</right>

---

#### Räkneexempel
<left>
* givet: $f = \qty{7,1}{\mega\hertz}$
* givet: $k_v = 0,95$
</left>
<right>
* givet: $\frac{\lambda}{2}$-dipol
* sökt: $l_G$
</right>

<left>
<fragment>
$\begin{split}l_E &= \frac{1}{2} \cdot \frac{\lambda}{2}\\ &= \frac{1}{4} \cdot \frac{c}{f}\\ &\approx \frac{1}{4} \cdot \frac{\qty{3\cdot 10^8}{\meter\per\second}}{\qty{7,1}{\mega\hertz}}\\ &\approx \frac{1}{4} \cdot \qty{42,25}{\meter}\\ &\approx \qty{10,56}{\meter}\end{split}$
</fragment>
</left>
<right>
<fragment>
$\begin{split}k_v &= \frac{l_G}{l_E}\\ \Rightarrow l_G &= k_v \cdot l_E\\ &= 0,95 \cdot \qty{10,56}{\meter}\\ &\approx \qty{10,04}{\meter}\end{split}$
</fragment>
</right>

---
#### Räkneexempel
<left>
* givet: $l_G = \qty{20}{\meter}$
* givet: $k_v = 0,95$
</left>
<right>
* givet: dipol
* sökt: $f$
</right>

<left>
<fragment>
$\begin{split}k_v &= \frac{l_G}{l_E}\\ \Rightarrow l_E &= \frac{l_G}{k_v}\\ &= \frac{\qty{20}{\meter}}{0,95}\\ &\approx \qty{21,05}{\meter}\end{split}$
</fragment>
</left>
<right>
<fragment>
$\begin{split}l_E &= \frac{\lambda}{2}\\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{f}\\ \Rightarrow f &= \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{l_E}\\ &\approx \frac{1}{2} \cdot \frac{\qty{3\cdot 10^8}{\meter\per\second}}{\qty{21,05}{\meter}}\\&\approx \qty{7,125}{\mega\hertz}\end{split}$
</fragment>
</right>

---

#### Räkneexempel
<left>
* givet: $f = \qty{7,1}{\mega\hertz}$
* givet: $k_v = 0,95$
</left>
<right>
* givet: $\frac{\lambda}{4}$-groundplane
* sökt: $l_G$
</right>

<left>
<fragment>
$\begin{split}l_E &= \frac{\lambda}{4}\\ &= \frac{1}{4} \cdot \frac{c}{f}\\ &\approx \frac{1}{4} \cdot \frac{\qty{3\cdot 10^8}{\meter\per\second}}{\qty{7,1}{\mega\hertz}}\\ &\approx \frac{1}{4} \cdot \qty{42,25}{\meter}\\ &\approx \qty{10,56}{\meter}\end{split}$
</fragment>
</left>
<right>
<fragment>
$\begin{split}k_v &= \frac{l_G}{l_E}\\ \Rightarrow l_G &= k_v \cdot l_E\\ &= 0,95 \cdot \qty{10,56}{\meter}\\ &\approx \qty{10,04}{\meter}\end{split}$
</fragment>
</right>

---

#### Räkneexempel
<left>
* givet: $f = \qty{14,2}{\mega\hertz}$
* givet: $k_v = 0,97$
</left>
<right>
* givet: $\frac{5}{8}\lambda$-vertikalantenn
* sökt: $l_G$
</right>

<left>
<fragment>
$\begin{split}l_E &= \frac{5}{8}\lambda\\ &= \frac{5}{8} \cdot \frac{c}{f}\\ &\approx \frac{5}{8} \cdot \frac{\qty{3\cdot 10^8}{\meter\per\second}}{\qty{14,2}{\mega\hertz}}\\ &\approx \frac{5}{8} \cdot \qty{21,13}{\meter}\\ &\approx \qty{13,20}{\meter}\end{split}$
</fragment>
</left>
<right>
<fragment>
$\begin{split}k_v &= \frac{l_G}{l_E}\\ \Rightarrow l_G &= k_v \cdot l_E\\ &= 0,97 \cdot \qty{13,20}{\meter}\\ &\approx \qty{12,80}{\meter}\end{split}$
</fragment>
</right>

---

### Orsak till förkortningsfaktorn

* Ledare är inte oändligt tunna  
* Extra kapacitans mellan ledare och omgivning  
* Påverkar antennens effektiva elektriska längd  

---

### Förlängningsfaktor hos slingantenner

* Skillnad mot förkortningsfaktorn  
* Ger en skenbar förlängning av antennen  

<note>
En förlängningsfaktor betyder <u>inte</u> att vågen breder ut sig med *överljushastighet*. Det rör sig om fashastigheten, inte grupphastigheten.
</note>

---

#### Räkneexempel
<left>
* givet: $f = \qty{7,1}{\mega\hertz}$
* givet: $k_v = 1,02$
</left>
<right>
* givet: delta loop
* sökt: $l_G$
</right>

<left>
<fragment>
$\begin{split}l_E &= \lambda\\ &= \frac{c}{f}\\ &= \frac{\qty{3\cdot 10^8}{\meter\per\second}}{\qty{7,1}{\mega\hertz}}\\ &\approx \qty{42,23}{\meter}\end{split}$
</fragment>
</left>
<right>
<fragment>
$\begin{split}k_v &= \frac{l_G}{l_E}\\ \Rightarrow l_G &= k_v \cdot l_E\\ &= 1,02 \cdot \qty{42,23}{\meter}\\ &\approx \qty{43,10}{\meter}\end{split}$
</fragment>
</right>

---

### Förkortningsfaktor hos parallelledningar

* Vågen befinner sig mellan ledarna  
* Skinneffekten hindrar vågen från att tränga djupt in i metallen  
* Förkortningsfaktorn är nära $1$ (som vid utbredning i fritt rum)  

---

### Förkortningsfaktor hos koaxialkablar

* Vågen befinner sig i dielektrikumet mellan ledarna
* Exempel för polyeten: $\epsilon_\mathrm{r} = 2,29$  
* Skinneffekten hindrar vågen från att tränga djupt in i metallen  
* Kabelns geometri har knappt någon inverkan  
* Beräkning av förkortningsfaktorn:  

<fragment>
$v_\mathrm{k} = \dfrac{1}{\sqrt{\epsilon_\mathrm{r}}}$
</fragment>


---
#### Räkneexempel
* givet: $f = \qty{145}{\mega\hertz}$
* givet: $k_v = 0,66$
* sökt: $l_G$

<left>
<fragment>
$\begin{split}l_E &= \lambda\\ &= \frac{c}{f}\\ &\approx \frac{\qty{3\cdot 10^8}{\meter\per\second}}{\qty{145}{\mega\hertz}}\\ &\approx \qty{2,07}{\meter}\end{split}$
</fragment>
</left>
<right>
<fragment>
$\begin{split}k_v &= \frac{l_G}{l_E}\\ \Rightarrow l_G &= k_v \cdot l_E\\ &= 0,66 \cdot \qty{2,07}{\meter}\\ &\approx \qty{1,37}{\meter}\end{split}$
</fragment>
</right>