Mario Haustein
826d1f0f47
Unify several notations like `R_G`, `R_{\textrm{ges}}`, `R_{ges}` to
`R_{\mathrm{ges}}`.
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Bei einem belasteten Spannungsteiler muss berücksichtigt werden, dass der Gesamtstrom steigt, wenn die Belastung erhöht wird, d.h. der Lastwiderstand $R_L$ niederohmiger wird.
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Dies gilt unter der Voraussetzung, dass der Strom der Versorgungsspannung nicht einbricht, weil er limitiert ist.
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Eine schwierige Frage, deshalb soll sie im Einzelnen erklärt werden!
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[question:AD115]
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Im belasteten Spannungsteiler fließen 3 Ströme:
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$I_1$ fließt durch $R_1$ und verursacht dort eine Verlustleistung $P_1 = U_1 \cdot I_1 = I_2 \cdot R_1$
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$I_2$ fließt durch $R_2$ und verursacht dort eine Verlustleistung $P_2 = U_2 \cdot I_2 = {I_2}^2 \cdot R_2$
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$I_L$ fließt durch $R_L$ und verursacht dort eine Verlustleistung $P_L = U_2 \cdot I_L = {I_L}^2 \cdot R_L$
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Der Strom $I_1$ ist die Summe von $I_2$ und $I_L$ und damit der größte Strom.
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Zur Veranschaulichung hilft am Besten eine Rechnung mit konkreten Bauteilwerten.
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Angenommen: Alle Widerstände haben einen Wert von $\qty{1}{\kilo\ohm}$ und die Gesamtspannung $U_B$ beträgt $\qty{12}{\volt}$.
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*unbelasteter Fall:*
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Ohne Rechnung ist sofort zu sehen: An jedem Widerstand können $\qty{6}{\volt}$ gemesen werden.
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Der Gesamtwiderstand $R_{\mathrm{ges}}$ beträgt: $\qty{2}{\kilo\ohm}$
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$\dfrac{U_B}{U_{2}} = \frac{R_{\mathrm{ges}}}{R_{2}}$
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Der Gesamtstrom $I_1$ beträgt: $I_1 = \frac{U_B}{R_{\mathrm{ges}}}$
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$I_1 = \frac{\qty{12}{\volt}}{\qty{2}{\kilo\ohm}} = \qty{6}{\milli\ampere}$. Dieser Strom fließt auch durch $R_2$.
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Die Verlustleistung ist an beiden Widerständen gleich groß: $P_1 = P_2 = \qty{6}{\volt} \cdot \qty{6}{\milli\ampere} = \qty{36}{\milli\watt}$
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*belasteter Fall:*
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Die Parallelschaltung von $R_2$ und $R_L$ ergibt einen Ersatzwiderstand von $\qty{500}{\ohm}$.
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Der Gesamtwiderstand des Spannungsteilers beträgt nun $\qty{1,5}{\kilo\ohm}$. Jetzt wirkt eine Spannungsteiler mit $\qty{1}{\kilo\ohm}$ zu $\qty{500}{\ohm}$ und dementsprechend teilt sich die Gesamtspannung auf.
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$2/3$ der Gesamtspannung kann an $R_1$ und $1/3$ der Gesamtspannung kann an $\qty{500}{\ohm}$ gemessen werden.
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Formel: $\frac{U_1}{U_B} = \frac{R_{1}}{R_{\mathrm{ges}}} \Leftrightarrow U_1 = U_B \cdot \frac{R_1}{R_{\mathrm{ges}}}$
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$U_1 = \qty{12}{\volt} \cdot \frac{\qty{1}{\kilo\ohm}}{\qty{1,5}{\kilo\ohm}}$
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$U_1 = \qty{8}{\volt}$ und am $\qty{500}{\ohm}$ Ersatzwiderstand $\qty{12}{\volt} - \qty{8}{\volt} = \qty{4}{\volt}$.
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Nun betrachten wir die Ströme:
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$I_1 = \qty{8}{\volt} / \qty{1}{\kilo\ohm} = \qty{8}{\milli\ampere}$. Dieser Strom steigt an.
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An $R_2$ und $R_L$ liegen jetzt nur noch $\qty{4}{\volt}$ an, deshalb sinken beide Ströme auf $I_2 = \qty{4}{\volt} / \qty{1}{\kilo\ohm} = \qty{4}{\milli\ampere}$ und $I_L = \qty{4}{\volt} / \qty{1}{\kilo\ohm} = \qty{4}{\milli\ampere}$.
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Wie verändern sich die Verlustleistungen?
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*An $R_1$:*
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$P_1 = U_1 \cdot I_1 = \qty{8}{\volt} \cdot \qty{8}{\milli\ampere} = \qty{64}{\milli\watt}$ gegenüber $\qty{36}{\milli\watt}$ im unbelasteten Fall.
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*An $R_2$* :
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$P_2 = U_2 \cdot I_2 = \qty{4}{\volt} \cdot \qty{4}{\milli\ampere} = \qty{16}{\milli\watt}$ gegenüber $\qty{36}{\milli\watt}$ im unbelasteten Fall.
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*An $R_L$:*
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$P_L = U_L \cdot I_L = \qty{4}{\volt} \cdot \qty{4}{\milli\ampere} = \qty{16}{\milli\watt}$.
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Merke: Bei der Dimensionierung eines Spannungsteiler ist die Stromstärke durch die Widerstände zu berücksichtigen. Der Strom $I_1$ steigt, wenn ein Lastwiderstand angeschlossen wird und dadurch wird $R_1$ wärmer.
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% Spannungsteiler müssen eine bestimmte Belastbarkeit besitzen, die von der Stromstärke durch die Widerstände abhängt.
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