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## Antennenlänge und Verkürzungsfaktor
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* Antennenlänge hängt vom Verkürzungsfaktor ab
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* Halbwellendipol: Hälfte der Wellenlänge $\times$ Verkürzungsfaktor
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* Viertelwellenstrahler: Viertel der Wellenlänge $\times$ Verkürzungsfaktor
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* Typischer Wert: $\num{0,95}$
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[question:AG101]
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#### Lösungsweg
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* gegeben: $f = \qty{14,2}{\mega\hertz}$
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* gegeben: $k_v = 0,95$
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</left>
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<right>
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* gegeben: $\frac{\lambda}{2}$-Dipol
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* gesucht: $l_G$
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</right>
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<left>
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<fragment>
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$\begin{split}l_E &= \frac{1}{2} \cdot \frac{\lambda}{2}\\ &= \frac{1}{4} \cdot \frac{c}{f}\\ &\approx \frac{1}{4} \cdot \frac{\qty{3\cdot 10^8}{\meter\per\second}}{\qty{14,2}{\mega\hertz}}\\ &\approx \frac{1}{4} \cdot \qty{21,13}{\meter}\\ &\approx \qty{5,28}{\meter}\end{split}$
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</fragment>
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</left>
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<right>
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<fragment>
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$\begin{split}k_v &= \frac{l_G}{l_E}\\ \Rightarrow l_G &= k_v \cdot l_E\\ &= 0,95 \cdot \qty{5,28}{\meter}\\ &\approx \qty{5,02}{\meter}\end{split}$
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</fragment>
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</right>
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[question:AG102]
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#### Lösungsweg
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<left>
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* gegeben: $f = \qty{7,1}{\mega\hertz}$
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* gegeben: $k_v = 0,95$
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</left>
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<right>
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* gegeben: $\frac{\lambda}{2}$-Dipol
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* gesucht: $l_G$
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</right>
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<left>
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<fragment>
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$\begin{split}l_E &= \frac{1}{2} \cdot \frac{\lambda}{2}\\ &= \frac{1}{4} \cdot \frac{c}{f}\\ &\approx \frac{1}{4} \cdot \frac{\qty{3\cdot 10^8}{\meter\per\second}}{\qty{7,1}{\mega\hertz}}\\ &\approx \frac{1}{4} \cdot \qty{42,25}{\meter}\\ &\approx \qty{10,56}{\meter}\end{split}$
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</fragment>
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</left>
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<right>
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<fragment>
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$\begin{split}k_v &= \frac{l_G}{l_E}\\ \Rightarrow l_G &= k_v \cdot l_E\\ &= 0,95 \cdot \qty{10,56}{\meter}\\ &\approx \qty{10,04}{\meter}\end{split}$
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</fragment>
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</right>
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[question:AG103]
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#### Lösungsweg
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<left>
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* gegeben: $l_G = \qty{20}{\meter}$
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* gegeben: $k_v = 0,95$
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</left>
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<right>
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* gegeben: Dipol
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* gesucht: $f$
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</right>
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<left>
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<fragment>
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$\begin{split}k_v &= \frac{l_G}{l_E}\\ \Rightarrow l_E &= \frac{l_G}{k_v}\\ &= \frac{\qty{20}{\meter}}{0,95}\\ &\approx \qty{21,05}{\meter}\end{split}$
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</fragment>
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</left>
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<right>
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<fragment>
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$\begin{split}l_E &= \frac{\lambda}{2}\\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{f}\\ \Rightarrow f &= \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{l_E}\\ &\approx \frac{1}{2} \cdot \frac{\qty{3\cdot 10^8}{\meter\per\second}}{\qty{21,05}{\meter}}\\&\approx \qty{7,125}{\mega\hertz}\end{split}$
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</fragment>
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</right>
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[question:AG104]
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#### Lösungsweg
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<left>
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* gegeben: $f = \qty{7,1}{\mega\hertz}$
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* gegeben: $k_v = 0,95$
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</left>
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<right>
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* gegeben: $\frac{\lambda}{4}$-Groundplane
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* gesucht: $l_G$
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</right>
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<left>
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<fragment>
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$\begin{split}l_E &= \frac{\lambda}{4}\\ &= \frac{1}{4} \cdot \frac{c}{f}\\ &\approx \frac{1}{4} \cdot \frac{\qty{3\cdot 10^8}{\meter\per\second}}{\qty{7,1}{\mega\hertz}}\\ &\approx \frac{1}{4} \cdot \qty{42,25}{\meter}\\ &\approx \qty{10,56}{\meter}\end{split}$
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</fragment>
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</left>
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<right>
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<fragment>
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$\begin{split}k_v &= \frac{l_G}{l_E}\\ \Rightarrow l_G &= k_v \cdot l_E\\ &= 0,95 \cdot \qty{10,56}{\meter}\\ &\approx \qty{10,04}{\meter}\end{split}$
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</fragment>
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</right>
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[question:AG105]
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#### Lösungsweg
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<left>
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* gegeben: $f = \qty{14,2}{\mega\hertz}$
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* gegeben: $k_v = 0,97$
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</left>
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<right>
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* gegeben: $\frac{5}{8}\lambda$-Vertikalantenne
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* gesucht: $l_G$
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</right>
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<left>
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<fragment>
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$\begin{split}l_E &= \frac{5}{8}\lambda\\ &= \frac{5}{8} \cdot \frac{c}{f}\\ &\approx \frac{5}{8} \cdot \frac{\qty{3\cdot 10^8}{\meter\per\second}}{\qty{14,2}{\mega\hertz}}\\ &\approx \frac{5}{8} \cdot \qty{21,13}{\meter}\\ &\approx \qty{13,20}{\meter}\end{split}$
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</fragment>
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</left>
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<right>
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<fragment>
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$\begin{split}k_v &= \frac{l_G}{l_E}\\ \Rightarrow l_G &= k_v \cdot l_E\\ &= 0,97 \cdot \qty{13,20}{\meter}\\ &\approx \qty{12,80}{\meter}\end{split}$
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</fragment>
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</right>
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### Ursache des Verkürzungsfaktors
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* Leiter sind nicht unendlich dünn
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* Zusätzliche Kapazität zwischen Leiter und Umgebung
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* Beeinflusst die effektive elektrische Länge der Antenne
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[question:AG202]
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### Verlängerungsfaktor bei Schleifenantennen
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* Unterschied zum Verkürzungsfaktor
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* Führt zu einer scheinbaren Verlängerung der Antenne
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<note>
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Ein Verlängerungsfaktor bedeutet <u>nicht</u>, dass sich die Welle mit *Überlichtgeschwindigkeit* ausbreitet. Es handelt sich um die Phasengeschwindigkeit, nicht um die Gruppengeschwindigkeit.
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</note>
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[question:AG118]
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#### Lösungsweg
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* gegeben: $f = \qty{7,1}{\mega\hertz}$
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* gegeben: $k_v = 1,02$
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</left>
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<right>
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* gegeben: Delta-Loop
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* gesucht: $l_G$
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</right>
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<left>
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<fragment>
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$\begin{split}l_E &= \lambda\\ &= \frac{c}{f}\\ &= \frac{\qty{3\cdot 10^8}{\meter\per\second}}{\qty{7,1}{\mega\hertz}}\\ &\approx \qty{42,23}{\meter}\end{split}$
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</fragment>
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</left>
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<right>
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<fragment>
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$\begin{split}k_v &= \frac{l_G}{l_E}\\ \Rightarrow l_G &= k_v \cdot l_E\\ &= 1,02 \cdot \qty{42,23}{\meter}\\ &\approx \qty{43,10}{\meter}\end{split}$
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</fragment>
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</right>
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### Verkürzungsfaktor bei Paralleldrahtleitungen
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* Welle befindet sich zwischen den Leitern
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* Skineffekt verhindert tiefes Eindringen ins Metall
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* Verkürzungsfaktor annähernd $1$ (wie Freiraumausbreitung)
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[question:AG313]
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### Verkürzungsfaktor bei Koaxialkabeln
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* Welle befindet sich im Dielektrikum zwischen den Leitern
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* Beispiel für Polyäthylen: $\epsilon_\mathrm{r} = 2,29$
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* Skineffekt verhindert tiefes Eindringen ins Metall
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* Geometrie des Kabels hat kaum Einfluss
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* Berechnung des Verkürzungsfaktors:
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$v_\mathrm{k} = \dfrac{1}{\sqrt{\epsilon_\mathrm{r}}}$
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</fragment>
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[question:AG315]
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[question:AG316]
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#### Lösungsweg
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* gegeben: $f = \qty{145}{\mega\hertz}$
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* gegeben: $k_v = 0,66$
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* gesucht: $l_G$
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<left>
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<fragment>
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$\begin{split}l_E &= \lambda\\ &= \frac{c}{f}\\ &\approx \frac{\qty{3\cdot 10^8}{\meter\per\second}}{\qty{145}{\mega\hertz}}\\ &\approx \qty{2,07}{\meter}\end{split}$
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</fragment>
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</left>
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<right>
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<fragment>
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$\begin{split}k_v &= \frac{l_G}{l_E}\\ \Rightarrow l_G &= k_v \cdot l_E\\ &= 0,66 \cdot \qty{2,07}{\meter}\\ &\approx \qty{1,37}{\meter}\end{split}$
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</fragment>
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</right> |